Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20967 / 4935
↖ ↑ ↗
← N 77.295618°
E 50.350342°		 ← 268.66 m → N 77.295618°
E 50.361328°		 →
↑
268.67 m
↓
↑
268.67 m
↓
N 77.293202°
E 50.350342°		 ← 268.71 m →
72 187 m²		 N 77.293202°
E 50.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639877319335938 y=0.150619506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639877319335938 × 215)
    floor (0.639877319335938 × 32768)
    floor (20967.5)     		tx = 20967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150619506835938 × 215)
    floor (0.150619506835938 × 32768)
    floor (4935.5)     		ty = 4935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20967 / 4935 ti = "15/20967/4935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20967/4935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20967 ÷ 215
    20967 ÷ 32768     		x = 0.639862060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4935 ÷ 215
    4935 ÷ 32768     		y = 0.150604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639862060546875 × 2 - 1) × π
    0.27972412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87877924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150604248046875 × 2 - 1) × π
    0.69879150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19531825500009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87877924} λ = 0.87877924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19531825500009))-π/2
    2×atan(8.98285944188007)-π/2
    2×1.45992968043991-π/2
    2.91985936087981-1.57079632675     		φ = 1.34906303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87877924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.350342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34906303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.295618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20967 KachelY 4935 0.87877924 1.34906303 50.350342 77.295618
    Oben rechts KachelX + 1 20968 KachelY 4935 0.87897099 1.34906303 50.361328 77.295618
    Unten links KachelX 20967 KachelY + 1 4936 0.87877924 1.34902086 50.350342 77.293202
    Unten rechts KachelX + 1 20968 KachelY + 1 4936 0.87897099 1.34902086 50.361328 77.293202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34906303-1.34902086) × R
    4.21699999999525e-05 × 6371000     		dl = 268.665069999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34906303-1.34902086) × R
    4.21699999999525e-05 × 6371000     		dr = 268.665069999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87877924-0.87897099) × cos(1.34906303) × R
    0.000191750000000046 × 0.219920814339479 × 6371000     		do = 268.663898689134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87877924-0.87897099) × cos(1.34902086) × R
    0.000191750000000046 × 0.219961951726465 × 6371000     		du = 268.714153735719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34906303)-sin(1.34902086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219920814339479-0.219961951726465)×R²
    abs(0.87897099-0.87877924)×4.11373869859399e-05×R²
    0.000191750000000046×4.11373869859399e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.11373869859399e-05×40589641000000     		ar = 72187.3560461682m²