Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20964 / 4900
↖ ↑ ↗
← N 77.379906°
E 50.317383°		 ← 266.91 m → N 77.379906°
E 50.328369°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
N 77.377506°
E 50.317383°		 ← 266.96 m →
71 257 m²		 N 77.377506°
E 50.328369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639785766601562 y=0.149551391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639785766601562 × 215)
    floor (0.639785766601562 × 32768)
    floor (20964.5)     		tx = 20964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149551391601562 × 215)
    floor (0.149551391601562 × 32768)
    floor (4900.5)     		ty = 4900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20964 / 4900 ti = "15/20964/4900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20964/4900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20964 ÷ 215
    20964 ÷ 32768     		x = 0.6397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4900 ÷ 215
    4900 ÷ 32768     		y = 0.1495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6397705078125 × 2 - 1) × π
    0.279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87820400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1495361328125 × 2 - 1) × π
    0.700927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2020294209469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87820400} λ = 0.87820400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2020294209469))-π/2
    2×atan(9.04334764843643)-π/2
    2×1.46066523229478-π/2
    2.92133046458956-1.57079632675     		φ = 1.35053414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87820400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35053414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.379906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20964 KachelY 4900 0.87820400 1.35053414 50.317383 77.379906
    Oben rechts KachelX + 1 20965 KachelY 4900 0.87839575 1.35053414 50.328369 77.379906
    Unten links KachelX 20964 KachelY + 1 4901 0.87820400 1.35049224 50.317383 77.377506
    Unten rechts KachelX + 1 20965 KachelY + 1 4901 0.87839575 1.35049224 50.328369 77.377506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35053414-1.35049224) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35053414-1.35049224) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87820400-0.87839575) × cos(1.35053414) × R
    0.000191750000000046 × 0.218485483001565 × 6371000     		do = 266.910441589983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87820400-0.87839575) × cos(1.35049224) × R
    0.000191750000000046 × 0.218526370514097 × 6371000     		du = 266.960391380128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35053414)-sin(1.35049224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218485483001565-0.218526370514097)×R²
    abs(0.87839575-0.87820400)×4.08875125327834e-05×R²
    0.000191750000000046×4.08875125327834e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.08875125327834e-05×40589641000000     		ar = 71257.0480711053m²