Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20963 / 4899
↖ ↑ ↗
← N 77.382306°
E 50.306396°		 ← 266.86 m → N 77.382306°
E 50.317383°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
N 77.379906°
E 50.306396°		 ← 266.91 m →
71 227 m²		 N 77.379906°
E 50.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639755249023438 y=0.149520874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639755249023438 × 215)
    floor (0.639755249023438 × 32768)
    floor (20963.5)     		tx = 20963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149520874023438 × 215)
    floor (0.149520874023438 × 32768)
    floor (4899.5)     		ty = 4899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20963 / 4899 ti = "15/20963/4899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20963/4899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20963 ÷ 215
    20963 ÷ 32768     		x = 0.639739990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4899 ÷ 215
    4899 ÷ 32768     		y = 0.149505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639739990234375 × 2 - 1) × π
    0.27947998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87801225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149505615234375 × 2 - 1) × π
    0.70098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20222116854538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87801225} λ = 0.87801225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20222116854538))-π/2
    2×atan(9.04508185488989)-π/2
    2×1.46068617736869-π/2
    2.92137235473737-1.57079632675     		φ = 1.35057603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87801225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.306396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35057603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.382306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20963 KachelY 4899 0.87801225 1.35057603 50.306396 77.382306
    Oben rechts KachelX + 1 20964 KachelY 4899 0.87820400 1.35057603 50.317383 77.382306
    Unten links KachelX 20963 KachelY + 1 4900 0.87801225 1.35053414 50.306396 77.379906
    Unten rechts KachelX + 1 20964 KachelY + 1 4900 0.87820400 1.35053414 50.317383 77.379906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35057603-1.35053414) × R
    4.18900000000999e-05 × 6371000     		dl = 266.881190000636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35057603-1.35053414) × R
    4.18900000000999e-05 × 6371000     		dr = 266.881190000636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87801225-0.87820400) × cos(1.35057603) × R
    0.000191749999999935 × 0.21844460486395 × 6371000     		do = 266.860503252452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87801225-0.87820400) × cos(1.35053414) × R
    0.000191749999999935 × 0.218485483001565 × 6371000     		du = 266.910441589829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35057603)-sin(1.35053414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21844460486395-0.218485483001565)×R²
    abs(0.87820400-0.87801225)×4.08781376146361e-05×R²
    0.000191749999999935×4.08781376146361e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.08781376146361e-05×40589641000000     		ar = 71226.7124839899m²