Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20963 / 11042
↖ ↑ ↗
← N 81.607733°
W122.423401°		 ← 44.58 m → N 81.607733°
W122.420654°		 →
↑
44.53 m
↓
↑
44.53 m
↓
N 81.607333°
W122.423401°		 ← 44.58 m →
1 985 m²		 N 81.607333°
W122.420654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159938812255859 y=0.0842475891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159938812255859 × 217)
    floor (0.159938812255859 × 131072)
    floor (20963.5)     		tx = 20963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0842475891113281 × 217)
    floor (0.0842475891113281 × 131072)
    floor (11042.5)     		ty = 11042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20963 / 11042 ti = "17/20963/11042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20963/11042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20963 ÷ 217
    20963 ÷ 131072     		x = 0.159934997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11042 ÷ 217
    11042 ÷ 131072     		y = 0.0842437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159934997558594 × 2 - 1) × π
    -0.680130004882812 × 3.1415926535     		Λ = -2.13669143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0842437744140625 × 2 - 1) × π
    0.831512451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61227340789534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13669143} λ = -2.13669143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61227340789534))-π/2
    2×atan(13.6300022106076)-π/2
    2×1.4975599845681-π/2
    2.99511996913621-1.57079632675     		φ = 1.42432364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13669143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.423401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42432364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.607733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20963 KachelY 11042 -2.13669143 1.42432364 -122.423401 81.607733
    Oben rechts KachelX + 1 20964 KachelY 11042 -2.13664349 1.42432364 -122.420654 81.607733
    Unten links KachelX 20963 KachelY + 1 11043 -2.13669143 1.42431665 -122.423401 81.607333
    Unten rechts KachelX + 1 20964 KachelY + 1 11043 -2.13664349 1.42431665 -122.420654 81.607333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42432364-1.42431665) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dl = 44.5332899995476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42432364-1.42431665) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dr = 44.5332899995476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13669143--2.13664349) × cos(1.42432364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14594950477681 × 6371000     		do = 44.5767354990615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13669143--2.13664349) × cos(1.42431665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14595641992461 × 6371000     		du = 44.5788475631955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42432364)-sin(1.42431665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14594950477681-0.14595641992461)×R²
    abs(-2.13664349--2.13669143)×6.91514779974089e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.91514779974089e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.91514779974089e-06×40589641000000     		ar = 1985.1957176315m²