Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20961 / 5279
↖ ↑ ↗
← N 76.437180°
E 50.284424°		 ← 286.49 m → N 76.437180°
E 50.295410°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 76.434604°
E 50.284424°		 ← 286.54 m →
82 088 m²		 N 76.434604°
E 50.295410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639694213867188 y=0.161117553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639694213867188 × 215)
    floor (0.639694213867188 × 32768)
    floor (20961.5)     		tx = 20961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161117553710938 × 215)
    floor (0.161117553710938 × 32768)
    floor (5279.5)     		ty = 5279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20961 / 5279 ti = "15/20961/5279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20961/5279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20961 ÷ 215
    20961 ÷ 32768     		x = 0.639678955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5279 ÷ 215
    5279 ÷ 32768     		y = 0.161102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639678955078125 × 2 - 1) × π
    0.27935791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87762876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161102294921875 × 2 - 1) × π
    0.67779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12935708112289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87762876} λ = 0.87762876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12935708112289))-π/2
    2×atan(8.40945847346631)-π/2
    2×1.45243839647361-π/2
    2.90487679294721-1.57079632675     		φ = 1.33408047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87762876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.284424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33408047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.437180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20961 KachelY 5279 0.87762876 1.33408047 50.284424 76.437180
    Oben rechts KachelX + 1 20962 KachelY 5279 0.87782051 1.33408047 50.295410 76.437180
    Unten links KachelX 20961 KachelY + 1 5280 0.87762876 1.33403550 50.284424 76.434604
    Unten rechts KachelX + 1 20962 KachelY + 1 5280 0.87782051 1.33403550 50.295410 76.434604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33408047-1.33403550) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dl = 286.50387000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33408047-1.33403550) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dr = 286.50387000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87762876-0.87782051) × cos(1.33408047) × R
    0.000191750000000046 × 0.234511337270361 × 6371000     		do = 286.48825417953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87762876-0.87782051) × cos(1.33403550) × R
    0.000191750000000046 × 0.23455505297213 × 6371000     		du = 286.541658996652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33408047)-sin(1.33403550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234511337270361-0.23455505297213)×R²
    abs(0.87782051-0.87762876)×4.37157017685319e-05×R²
    0.000191750000000046×4.37157017685319e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.37157017685319e-05×40589641000000     		ar = 82087.6438898388m²