Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20960 / 5281
↖ ↑ ↗
← N 76.432027°
E 50.273437°		 ← 286.60 m → N 76.432027°
E 50.284424°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
N 76.429449°
E 50.273437°		 ← 286.65 m →
82 155 m²		 N 76.429449°
E 50.284424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639663696289062 y=0.161178588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639663696289062 × 215)
    floor (0.639663696289062 × 32768)
    floor (20960.5)     		tx = 20960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161178588867188 × 215)
    floor (0.161178588867188 × 32768)
    floor (5281.5)     		ty = 5281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20960 / 5281 ti = "15/20960/5281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20960/5281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20960 ÷ 215
    20960 ÷ 32768     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5281 ÷ 215
    5281 ÷ 32768     		y = 0.161163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161163330078125 × 2 - 1) × π
    0.67767333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12897358592593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12897358592593))-π/2
    2×atan(8.40623410483715)-π/2
    2×1.45239342110431-π/2
    2.90478684220861-1.57079632675     		φ = 1.33399052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33399052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.432027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20960 KachelY 5281 0.87743701 1.33399052 50.273437 76.432027
    Oben rechts KachelX + 1 20961 KachelY 5281 0.87762876 1.33399052 50.284424 76.432027
    Unten links KachelX 20960 KachelY + 1 5282 0.87743701 1.33394553 50.273437 76.429449
    Unten rechts KachelX + 1 20961 KachelY + 1 5282 0.87762876 1.33394553 50.284424 76.429449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33399052-1.33394553) × R
    4.49899999999115e-05 × 6371000     		dl = 286.631289999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33399052-1.33394553) × R
    4.49899999999115e-05 × 6371000     		dr = 286.631289999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.87762876) × cos(1.33399052) × R
    0.000191750000000046 × 0.23459877792048 × 6371000     		do = 286.595075109761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.87762876) × cos(1.33394553) × R
    0.000191750000000046 × 0.234642512115008 × 6371000     		du = 286.648502518363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33399052)-sin(1.33394553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23459877792048-0.234642512115008)×R²
    abs(0.87762876-0.87743701)×4.37341945273839e-05×R²
    0.000191750000000046×4.37341945273839e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.37341945273839e-05×40589641000000     		ar = 82154.7730830243m²