Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20960 / 11040
↖ ↑ ↗
← N 81.608535°
W122.431641°		 ← 44.57 m → N 81.608535°
W122.428894°		 →
↑
44.53 m
↓
↑
44.53 m
↓
N 81.608134°
W122.431641°		 ← 44.57 m →
1 985 m²		 N 81.608134°
W122.428894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159915924072266 y=0.0842323303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159915924072266 × 217)
    floor (0.159915924072266 × 131072)
    floor (20960.5)     		tx = 20960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0842323303222656 × 217)
    floor (0.0842323303222656 × 131072)
    floor (11040.5)     		ty = 11040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20960 / 11040 ti = "17/20960/11040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20960/11040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20960 ÷ 217
    20960 ÷ 131072     		x = 0.159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11040 ÷ 217
    11040 ÷ 131072     		y = 0.084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159912109375 × 2 - 1) × π
    -0.68017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13683524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084228515625 × 2 - 1) × π
    0.83154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61236928169458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13683524} λ = -2.13683524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61236928169458))-π/2
    2×atan(13.6313090333472)-π/2
    2×1.49756698060297-π/2
    2.99513396120594-1.57079632675     		φ = 1.42433763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13683524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42433763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.608535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20960 KachelY 11040 -2.13683524 1.42433763 -122.431641 81.608535
    Oben rechts KachelX + 1 20961 KachelY 11040 -2.13678730 1.42433763 -122.428894 81.608535
    Unten links KachelX 20960 KachelY + 1 11041 -2.13683524 1.42433064 -122.431641 81.608134
    Unten rechts KachelX + 1 20961 KachelY + 1 11041 -2.13678730 1.42433064 -122.428894 81.608134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42433763-1.42433064) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dl = 44.5332899995476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42433763-1.42433064) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dr = 44.5332899995476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13683524--2.13678730) × cos(1.42433763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145935664566877 × 6371000     		do = 44.5725083427008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13683524--2.13678730) × cos(1.42433064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145942579728948 × 6371000     		du = 44.5746204111938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42433763)-sin(1.42433064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145935664566877-0.145942579728948)×R²
    abs(-2.13678730--2.13683524)×6.91516207179665e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.91516207179665e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.91516207179665e-06×40589641000000     		ar = 1985.00746868579m²