Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20959 / 12645
↖ ↑ ↗
← N 80.940111°
W122.434387°		 ← 48.08 m → N 80.940111°
W122.431641°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
N 80.939678°
W122.434387°		 ← 48.09 m →
2 313 m²		 N 80.939678°
W122.431641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159908294677734 y=0.0964775085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159908294677734 × 217)
    floor (0.159908294677734 × 131072)
    floor (20959.5)     		tx = 20959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0964775085449219 × 217)
    floor (0.0964775085449219 × 131072)
    floor (12645.5)     		ty = 12645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20959 / 12645 ti = "17/20959/12645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20959/12645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20959 ÷ 217
    20959 ÷ 131072     		x = 0.159904479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12645 ÷ 217
    12645 ÷ 131072     		y = 0.0964736938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159904479980469 × 2 - 1) × π
    -0.680191040039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.13688317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0964736938476562 × 2 - 1) × π
    0.807052612304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.53543055780439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13688317} λ = -2.13688317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53543055780439))-π/2
    2×atan(12.621864120387)-π/2
    2×1.49173387627467-π/2
    2.98346775254934-1.57079632675     		φ = 1.41267143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13688317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.434387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41267143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.940111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20959 KachelY 12645 -2.13688317 1.41267143 -122.434387 80.940111
    Oben rechts KachelX + 1 20960 KachelY 12645 -2.13683524 1.41267143 -122.431641 80.940111
    Unten links KachelX 20959 KachelY + 1 12646 -2.13688317 1.41266388 -122.434387 80.939678
    Unten rechts KachelX + 1 20960 KachelY + 1 12646 -2.13683524 1.41266388 -122.431641 80.939678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41267143-1.41266388) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41267143-1.41266388) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13688317--2.13683524) × cos(1.41267143) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157466774573519 × 6371000     		do = 48.0843739413514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13688317--2.13683524) × cos(1.41266388) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157474230377388 × 6371000     		du = 48.0866506607562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41267143)-sin(1.41266388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157466774573519-0.157474230377388)×R²
    abs(-2.13683524--2.13688317)×7.45580386926625e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.45580386926625e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.45580386926625e-06×40589641000000     		ar = 2312.96363153741m²