Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20957 / 5218
↖ ↑ ↗
← N 76.593451°
E 50.240479°		 ← 283.25 m → N 76.593451°
E 50.251465°		 →
↑
283.25 m
↓
↑
283.25 m
↓
N 76.590904°
E 50.240479°		 ← 283.30 m →
80 239 m²		 N 76.590904°
E 50.251465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639572143554688 y=0.159255981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639572143554688 × 215)
    floor (0.639572143554688 × 32768)
    floor (20957.5)     		tx = 20957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159255981445312 × 215)
    floor (0.159255981445312 × 32768)
    floor (5218.5)     		ty = 5218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20957 / 5218 ti = "15/20957/5218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20957/5218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20957 ÷ 215
    20957 ÷ 32768     		x = 0.639556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5218 ÷ 215
    5218 ÷ 32768     		y = 0.15924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639556884765625 × 2 - 1) × π
    0.27911376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87686177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15924072265625 × 2 - 1) × π
    0.6815185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14105368463019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87686177} λ = 0.87686177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14105368463019))-π/2
    2×atan(8.50839807559438)-π/2
    2×1.45380212010417-π/2
    2.90760424020833-1.57079632675     		φ = 1.33680791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87686177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.240479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33680791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.593451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20957 KachelY 5218 0.87686177 1.33680791 50.240479 76.593451
    Oben rechts KachelX + 1 20958 KachelY 5218 0.87705352 1.33680791 50.251465 76.593451
    Unten links KachelX 20957 KachelY + 1 5219 0.87686177 1.33676345 50.240479 76.590904
    Unten rechts KachelX + 1 20958 KachelY + 1 5219 0.87705352 1.33676345 50.251465 76.590904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33680791-1.33676345) × R
    4.44600000000239e-05 × 6371000     		dl = 283.254660000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33680791-1.33676345) × R
    4.44600000000239e-05 × 6371000     		dr = 283.254660000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87686177-0.87705352) × cos(1.33680791) × R
    0.000191750000000046 × 0.231859087371615 × 6371000     		do = 283.248161602412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87686177-0.87705352) × cos(1.33676345) × R
    0.000191750000000046 × 0.231902335580046 × 6371000     		du = 283.300995311323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33680791)-sin(1.33676345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231859087371615-0.231902335580046)×R²
    abs(0.87705352-0.87686177)×4.32482084307406e-05×R²
    0.000191750000000046×4.32482084307406e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.32482084307406e-05×40589641000000     		ar = 80238.8444203484m²