Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20955 / 5230
↖ ↑ ↗
← N 76.562850°
E 50.218506°		 ← 283.88 m → N 76.562850°
E 50.229492°		 →
↑
283.89 m
↓
↑
283.89 m
↓
N 76.560296°
E 50.218506°		 ← 283.94 m →
80 600 m²		 N 76.560296°
E 50.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639511108398438 y=0.159622192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639511108398438 × 215)
    floor (0.639511108398438 × 32768)
    floor (20955.5)     		tx = 20955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159622192382812 × 215)
    floor (0.159622192382812 × 32768)
    floor (5230.5)     		ty = 5230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20955 / 5230 ti = "15/20955/5230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20955/5230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20955 ÷ 215
    20955 ÷ 32768     		x = 0.639495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5230 ÷ 215
    5230 ÷ 32768     		y = 0.15960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639495849609375 × 2 - 1) × π
    0.27899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87647827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15960693359375 × 2 - 1) × π
    0.6807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13875271344843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87647827} λ = 0.87647827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13875271344843))-π/2
    2×atan(8.48884300327621)-π/2
    2×1.45353507082905-π/2
    2.9070701416581-1.57079632675     		φ = 1.33627381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87647827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.218506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33627381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.562850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20955 KachelY 5230 0.87647827 1.33627381 50.218506 76.562850
    Oben rechts KachelX + 1 20956 KachelY 5230 0.87667002 1.33627381 50.229492 76.562850
    Unten links KachelX 20955 KachelY + 1 5231 0.87647827 1.33622925 50.218506 76.560296
    Unten rechts KachelX + 1 20956 KachelY + 1 5231 0.87667002 1.33622925 50.229492 76.560296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33627381-1.33622925) × R
    4.45600000000823e-05 × 6371000     		dl = 283.891760000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33627381-1.33622925) × R
    4.45600000000823e-05 × 6371000     		dr = 283.891760000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87647827-0.87667002) × cos(1.33627381) × R
    0.000191750000000046 × 0.232378599722393 × 6371000     		do = 283.882818280982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87647827-0.87667002) × cos(1.33622925) × R
    0.000191750000000046 × 0.232421939679903 × 6371000     		du = 283.93576407417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33627381)-sin(1.33622925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232378599722393-0.232421939679903)×R²
    abs(0.87667002-0.87647827)×4.3339957509686e-05×R²
    0.000191750000000046×4.3339957509686e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.3339957509686e-05×40589641000000     		ar = 80599.5083660991m²