Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20953 / 5226
↖ ↑ ↗
← N 76.573058°
E 50.196533°		 ← 283.67 m → N 76.573058°
E 50.207520°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
N 76.570507°
E 50.196533°		 ← 283.72 m →
80 485 m²		 N 76.570507°
E 50.207520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639450073242188 y=0.159500122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639450073242188 × 215)
    floor (0.639450073242188 × 32768)
    floor (20953.5)     		tx = 20953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159500122070312 × 215)
    floor (0.159500122070312 × 32768)
    floor (5226.5)     		ty = 5226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20953 / 5226 ti = "15/20953/5226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20953/5226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20953 ÷ 215
    20953 ÷ 32768     		x = 0.639434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5226 ÷ 215
    5226 ÷ 32768     		y = 0.15948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639434814453125 × 2 - 1) × π
    0.27886962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87609478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15948486328125 × 2 - 1) × π
    0.6810302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13951970384235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87609478} λ = 0.87609478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13951970384235))-π/2
    2×atan(8.49535636183765)-π/2
    2×1.45362415367186-π/2
    2.90724830734371-1.57079632675     		φ = 1.33645198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87609478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.196533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33645198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.573058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20953 KachelY 5226 0.87609478 1.33645198 50.196533 76.573058
    Oben rechts KachelX + 1 20954 KachelY 5226 0.87628653 1.33645198 50.207520 76.573058
    Unten links KachelX 20953 KachelY + 1 5227 0.87609478 1.33640745 50.196533 76.570507
    Unten rechts KachelX + 1 20954 KachelY + 1 5227 0.87628653 1.33640745 50.207520 76.570507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33645198-1.33640745) × R
    4.45300000000426e-05 × 6371000     		dl = 283.700630000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33645198-1.33640745) × R
    4.45300000000426e-05 × 6371000     		dr = 283.700630000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87609478-0.87628653) × cos(1.33645198) × R
    0.000191750000000046 × 0.232205303365797 × 6371000     		do = 283.671112649883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87609478-0.87628653) × cos(1.33640745) × R
    0.000191750000000046 × 0.23224861598801 × 6371000     		du = 283.724025049199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33645198)-sin(1.33640745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232205303365797-0.23224861598801)×R²
    abs(0.87628653-0.87609478)×4.33126222132152e-05×R²
    0.000191750000000046×4.33126222132152e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.33126222132152e-05×40589641000000     		ar = 80485.1790260439m²