Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20952 / 5241
↖ ↑ ↗
← N 76.534738°
E 50.185547°		 ← 284.47 m → N 76.534738°
E 50.196533°		 →
↑
284.47 m
↓
↑
284.47 m
↓
N 76.532180°
E 50.185547°		 ← 284.52 m →
80 928 m²		 N 76.532180°
E 50.196533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639419555664062 y=0.159957885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639419555664062 × 215)
    floor (0.639419555664062 × 32768)
    floor (20952.5)     		tx = 20952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159957885742188 × 215)
    floor (0.159957885742188 × 32768)
    floor (5241.5)     		ty = 5241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20952 / 5241 ti = "15/20952/5241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20952/5241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20952 ÷ 215
    20952 ÷ 32768     		x = 0.639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5241 ÷ 215
    5241 ÷ 32768     		y = 0.159942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639404296875 × 2 - 1) × π
    0.27880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87590303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159942626953125 × 2 - 1) × π
    0.68011474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13664348986514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87590303} λ = 0.87590303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13664348986514))-π/2
    2×atan(8.47095700483475)-π/2
    2×1.45328975008266-π/2
    2.90657950016533-1.57079632675     		φ = 1.33578317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87590303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33578317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.534738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20952 KachelY 5241 0.87590303 1.33578317 50.185547 76.534738
    Oben rechts KachelX + 1 20953 KachelY 5241 0.87609478 1.33578317 50.196533 76.534738
    Unten links KachelX 20952 KachelY + 1 5242 0.87590303 1.33573852 50.185547 76.532180
    Unten rechts KachelX + 1 20953 KachelY + 1 5242 0.87609478 1.33573852 50.196533 76.532180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33578317-1.33573852) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dl = 284.465149999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33578317-1.33573852) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dr = 284.465149999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87590303-0.87609478) × cos(1.33578317) × R
    0.000191749999999935 × 0.232855780663987 × 6371000     		do = 284.465761248421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87590303-0.87609478) × cos(1.33573852) × R
    0.000191749999999935 × 0.232899203060412 × 6371000     		du = 284.518807752223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33578317)-sin(1.33573852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232855780663987-0.232899203060412)×R²
    abs(0.87609478-0.87590303)×4.34223964252134e-05×R²
    0.000191749999999935×4.34223964252134e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.34223964252134e-05×40589641000000     		ar = 80928.1403974298m²