Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20950 / 5238
↖ ↑ ↗
← N 76.542410°
E 50.163574°		 ← 284.31 m → N 76.542410°
E 50.174560°		 →
↑
284.27 m
↓
↑
284.27 m
↓
N 76.539854°
E 50.163574°		 ← 284.36 m →
80 829 m²		 N 76.539854°
E 50.174560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639358520507812 y=0.159866333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639358520507812 × 215)
    floor (0.639358520507812 × 32768)
    floor (20950.5)     		tx = 20950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159866333007812 × 215)
    floor (0.159866333007812 × 32768)
    floor (5238.5)     		ty = 5238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20950 / 5238 ti = "15/20950/5238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20950/5238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20950 ÷ 215
    20950 ÷ 32768     		x = 0.63934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5238 ÷ 215
    5238 ÷ 32768     		y = 0.15985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63934326171875 × 2 - 1) × π
    0.2786865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87551953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15985107421875 × 2 - 1) × π
    0.6802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13721873266058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87551953} λ = 0.87551953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13721873266058))-π/2
    2×atan(8.47583126362899)-π/2
    2×1.4533567056564-π/2
    2.90671341131279-1.57079632675     		φ = 1.33591708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87551953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33591708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.542410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20950 KachelY 5238 0.87551953 1.33591708 50.163574 76.542410
    Oben rechts KachelX + 1 20951 KachelY 5238 0.87571128 1.33591708 50.174560 76.542410
    Unten links KachelX 20950 KachelY + 1 5239 0.87551953 1.33587246 50.163574 76.539854
    Unten rechts KachelX + 1 20951 KachelY + 1 5239 0.87571128 1.33587246 50.174560 76.539854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33591708-1.33587246) × R
    4.46199999999397e-05 × 6371000     		dl = 284.274019999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33591708-1.33587246) × R
    4.46199999999397e-05 × 6371000     		dr = 284.274019999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87551953-0.87571128) × cos(1.33591708) × R
    0.000191749999999935 × 0.232725549591396 × 6371000     		do = 284.306665858575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87551953-0.87571128) × cos(1.33587246) × R
    0.000191749999999935 × 0.232768944203864 × 6371000     		du = 284.359678420404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33591708)-sin(1.33587246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232725549591396-0.232768944203864)×R²
    abs(0.87571128-0.87551953)×4.33946124674955e-05×R²
    0.000191749999999935×4.33946124674955e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.33946124674955e-05×40589641000000     		ar = 80828.5338772468m²