Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2095 / 1910
↖ ↑ ↗
← N 79.726446°
W133.967285°		 ← 435.75 m → N 79.726446°
W133.945312°		 →
↑
435.84 m
↓
↑
435.84 m
↓
N 79.722526°
W133.967285°		 ← 435.92 m →
189 955 m²		 N 79.722526°
W133.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127899169921875 y=0.116607666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127899169921875 × 214)
    floor (0.127899169921875 × 16384)
    floor (2095.5)     		tx = 2095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116607666015625 × 214)
    floor (0.116607666015625 × 16384)
    floor (1910.5)     		ty = 1910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2095 / 1910 ti = "14/2095/1910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2095/1910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2095 ÷ 214
    2095 ÷ 16384     		x = 0.12786865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1910 ÷ 214
    1910 ÷ 16384     		y = 0.1165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.7442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33817022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1165771484375 × 2 - 1) × π
    0.766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40911682730554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33817022} λ = -2.33817022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40911682730554))-π/2
    2×atan(11.1241322755343)-π/2
    2×1.48114265509921-π/2
    2.96228531019842-1.57079632675     		φ = 1.39148898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33817022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.967285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39148898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.726446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2095 KachelY 1910 -2.33817022 1.39148898 -133.967285 79.726446
    Oben rechts KachelX + 1 2096 KachelY 1910 -2.33778672 1.39148898 -133.945312 79.726446
    Unten links KachelX 2095 KachelY + 1 1911 -2.33817022 1.39142057 -133.967285 79.722526
    Unten rechts KachelX + 1 2096 KachelY + 1 1911 -2.33778672 1.39142057 -133.945312 79.722526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39148898-1.39142057) × R
    6.84100000001298e-05 × 6371000     		dl = 435.840110000827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39148898-1.39142057) × R
    6.84100000001298e-05 × 6371000     		dr = 435.840110000827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33817022--2.33778672) × cos(1.39148898) × R
    0.00038349999999987 × 0.178348068046814 × 6371000     		do = 435.754000175171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33817022--2.33778672) × cos(1.39142057) × R
    0.00038349999999987 × 0.178415380843522 × 6371000     		du = 435.91846408414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39148898)-sin(1.39142057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178348068046814-0.178415380843522)×R²
    abs(-2.33778672--2.33817022)×6.7312796707103e-05×R²
    0.00038349999999987×6.7312796707103e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.7312796707103e-05×40589641000000     		ar = 189954.911428864m²