Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2095 / 1529
↖ ↑ ↗
← N 41.442727°
E  4.130860°		 ← 7 326 m → N 41.442727°
E  4.218750°		 →
↑
7 329.77 m
↓
↑
7 329.77 m
↓
N 41.376808°
E  4.130860°		 ← 7 333.44 m →
53 725 198 m²		 N 41.376808°
E  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5115966796875 y=0.3734130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5115966796875 × 212)
    floor (0.5115966796875 × 4096)
    floor (2095.5)     		tx = 2095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3734130859375 × 212)
    floor (0.3734130859375 × 4096)
    floor (1529.5)     		ty = 1529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2095 / 1529 ti = "12/2095/1529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2095/1529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2095 ÷ 212
    2095 ÷ 4096     		x = 0.511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1529 ÷ 212
    1529 ÷ 4096     		y = 0.373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511474609375 × 2 - 1) × π
    0.02294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07209710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373291015625 × 2 - 1) × π
    0.25341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.796136028889893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07209710} λ = 0.07209710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.796136028889893))-π/2
    2×atan(2.21695809522897)-π/2
    2×1.14705417653566-π/2
    2.29410835307132-1.57079632675     		φ = 0.72331203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07209710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.130860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72331203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.442727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2095 KachelY 1529 0.07209710 0.72331203 4.130860 41.442727
    Oben rechts KachelX + 1 2096 KachelY 1529 0.07363108 0.72331203 4.218750 41.442727
    Unten links KachelX 2095 KachelY + 1 1530 0.07209710 0.72216154 4.130860 41.376808
    Unten rechts KachelX + 1 2096 KachelY + 1 1530 0.07363108 0.72216154 4.218750 41.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72331203-0.72216154) × R
    0.00115049 × 6371000     		dl = 7329.77179000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72331203-0.72216154) × R
    0.00115049 × 6371000     		dr = 7329.77179000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07209710-0.07363108) × cos(0.72331203) × R
    0.00153398 × 0.749617707839755 × 6371000     		do = 7326.0037988483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07209710-0.07363108) × cos(0.72216154) × R
    0.00153398 × 0.750378687593506 × 6371000     		du = 7333.44084376937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72331203)-sin(0.72216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749617707839755-0.750378687593506)×R²
    abs(0.07363108-0.07209710)×0.000760979753751112×R²
    0.00153398×0.000760979753751112×6371000²
    0.00153398×0.000760979753751112×40589641000000     		ar = 53725197.8252742m²