Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20947 / 5229
↖ ↑ ↗
← N 76.565403°
E 50.130615°		 ← 283.83 m → N 76.565403°
E 50.141602°		 →
↑
283.89 m
↓
↑
283.89 m
↓
N 76.562850°
E 50.130615°		 ← 283.88 m →
80 584 m²		 N 76.562850°
E 50.141602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639266967773438 y=0.159591674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639266967773438 × 215)
    floor (0.639266967773438 × 32768)
    floor (20947.5)     		tx = 20947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159591674804688 × 215)
    floor (0.159591674804688 × 32768)
    floor (5229.5)     		ty = 5229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20947 / 5229 ti = "15/20947/5229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20947/5229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20947 ÷ 215
    20947 ÷ 32768     		x = 0.639251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5229 ÷ 215
    5229 ÷ 32768     		y = 0.159576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639251708984375 × 2 - 1) × π
    0.27850341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87494429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159576416015625 × 2 - 1) × π
    0.68084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13894446104691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87494429} λ = 0.87494429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13894446104691))-π/2
    2×atan(8.49047087460119)-π/2
    2×1.45355734777044-π/2
    2.90711469554087-1.57079632675     		φ = 1.33631837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87494429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.130615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33631837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.565403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20947 KachelY 5229 0.87494429 1.33631837 50.130615 76.565403
    Oben rechts KachelX + 1 20948 KachelY 5229 0.87513604 1.33631837 50.141602 76.565403
    Unten links KachelX 20947 KachelY + 1 5230 0.87494429 1.33627381 50.130615 76.562850
    Unten rechts KachelX + 1 20948 KachelY + 1 5230 0.87513604 1.33627381 50.141602 76.562850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33631837-1.33627381) × R
    4.45600000000823e-05 × 6371000     		dl = 283.891760000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33631837-1.33627381) × R
    4.45600000000823e-05 × 6371000     		dr = 283.891760000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87494429-0.87513604) × cos(1.33631837) × R
    0.000191750000000046 × 0.232335259303474 × 6371000     		do = 283.829871924119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87494429-0.87513604) × cos(1.33627381) × R
    0.000191750000000046 × 0.232378599722393 × 6371000     		du = 283.882818280982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33631837)-sin(1.33627381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232335259303474-0.232378599722393)×R²
    abs(0.87513604-0.87494429)×4.33404189191522e-05×R²
    0.000191750000000046×4.33404189191522e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.33404189191522e-05×40589641000000     		ar = 80584.4774112962m²