Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20941 / 5147
↖ ↑ ↗
← N 76.773116°
E 50.064697°		 ← 279.51 m → N 76.773116°
E 50.075683°		 →
↑
279.56 m
↓
↑
279.56 m
↓
N 76.770602°
E 50.064697°		 ← 279.56 m →
78 146 m²		 N 76.770602°
E 50.075683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639083862304688 y=0.157089233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639083862304688 × 215)
    floor (0.639083862304688 × 32768)
    floor (20941.5)     		tx = 20941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157089233398438 × 215)
    floor (0.157089233398438 × 32768)
    floor (5147.5)     		ty = 5147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20941 / 5147 ti = "15/20941/5147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20941/5147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20941 ÷ 215
    20941 ÷ 32768     		x = 0.639068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5147 ÷ 215
    5147 ÷ 32768     		y = 0.157073974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639068603515625 × 2 - 1) × π
    0.27813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87379381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157073974609375 × 2 - 1) × π
    0.68585205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15466776412228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87379381} λ = 0.87379381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15466776412228))-π/2
    2×atan(8.62502416042576)-π/2
    2×1.45536998689698-π/2
    2.91073997379396-1.57079632675     		φ = 1.33994365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87379381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.064697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33994365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.773116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20941 KachelY 5147 0.87379381 1.33994365 50.064697 76.773116
    Oben rechts KachelX + 1 20942 KachelY 5147 0.87398555 1.33994365 50.075683 76.773116
    Unten links KachelX 20941 KachelY + 1 5148 0.87379381 1.33989977 50.064697 76.770602
    Unten rechts KachelX + 1 20942 KachelY + 1 5148 0.87398555 1.33989977 50.075683 76.770602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33994365-1.33989977) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dl = 279.559479999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33994365-1.33989977) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dr = 279.559479999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87379381-0.87398555) × cos(1.33994365) × R
    0.000191739999999996 × 0.228807663299173 × 6371000     		do = 279.505844850819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87379381-0.87398555) × cos(1.33989977) × R
    0.000191739999999996 × 0.228850379014879 × 6371000     		du = 279.558025324299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33994365)-sin(1.33989977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228807663299173-0.228850379014879)×R²
    abs(0.87398555-0.87379381)×4.27157157057989e-05×R²
    0.000191739999999996×4.27157157057989e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.27157157057989e-05×40589641000000     		ar = 78145.8024287394m²