Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20941 / 12111
↖ ↑ ↗
← N 81.168168°
W122.483826°		 ← 46.89 m → N 81.168168°
W122.481079°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
N 81.167746°
W122.483826°		 ← 46.90 m →
2 199 m²		 N 81.167746°
W122.481079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159770965576172 y=0.0924034118652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159770965576172 × 217)
    floor (0.159770965576172 × 131072)
    floor (20941.5)     		tx = 20941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0924034118652344 × 217)
    floor (0.0924034118652344 × 131072)
    floor (12111.5)     		ty = 12111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20941 / 12111 ti = "17/20941/12111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20941/12111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20941 ÷ 217
    20941 ÷ 131072     		x = 0.159767150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12111 ÷ 217
    12111 ÷ 131072     		y = 0.0923995971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159767150878906 × 2 - 1) × π
    -0.680465698242188 × 3.1415926535     		Λ = -2.13774604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0923995971679688 × 2 - 1) × π
    0.815200805664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.5610288622015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13774604} λ = -2.13774604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5610288622015))-π/2
    2×atan(12.949133338026)-π/2
    2×1.49372405144036-π/2
    2.98744810288073-1.57079632675     		φ = 1.41665178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13774604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.483826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41665178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.168168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20941 KachelY 12111 -2.13774604 1.41665178 -122.483826 81.168168
    Oben rechts KachelX + 1 20942 KachelY 12111 -2.13769810 1.41665178 -122.481079 81.168168
    Unten links KachelX 20941 KachelY + 1 12112 -2.13774604 1.41664442 -122.483826 81.167746
    Unten rechts KachelX + 1 20942 KachelY + 1 12112 -2.13769810 1.41664442 -122.481079 81.167746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41665178-1.41664442) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dl = 46.8905600007825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41665178-1.41664442) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dr = 46.8905600007825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13774604--2.13769810) × cos(1.41665178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15353484527586 × 6371000     		do = 46.8934937341343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13774604--2.13769810) × cos(1.41664442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153542118005905 × 6371000     		du = 46.8957150130902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41665178)-sin(1.41664442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15353484527586-0.153542118005905)×R²
    abs(-2.13769810--2.13774604)×7.27273004527684e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.27273004527684e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.27273004527684e-06×40589641000000     		ar = 2198.91426007089m²