Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2094 / 1530
↖ ↑ ↗
← N 41.376808°
E  4.042969°		 ← 7 333.44 m → N 41.376808°
E  4.130860°		 →
↑
7 337.16 m
↓
↑
7 337.16 m
↓
N 41.310824°
E  4.042969°		 ← 7 340.88 m →
53 833 926 m²		 N 41.310824°
E  4.130860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5113525390625 y=0.3736572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5113525390625 × 212)
    floor (0.5113525390625 × 4096)
    floor (2094.5)     		tx = 2094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3736572265625 × 212)
    floor (0.3736572265625 × 4096)
    floor (1530.5)     		ty = 1530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2094 / 1530 ti = "12/2094/1530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2094/1530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2094 ÷ 212
    2094 ÷ 4096     		x = 0.51123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1530 ÷ 212
    1530 ÷ 4096     		y = 0.37353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51123046875 × 2 - 1) × π
    0.0224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07056312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37353515625 × 2 - 1) × π
    0.2529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.794602048102051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07056312} λ = 0.07056312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.794602048102051))-π/2
    2×atan(2.21355993112901)-π/2
    2×1.14647893510838-π/2
    2.29295787021675-1.57079632675     		φ = 0.72216154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07056312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72216154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.376808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2094 KachelY 1530 0.07056312 0.72216154 4.042969 41.376808
    Oben rechts KachelX + 1 2095 KachelY 1530 0.07209710 0.72216154 4.130860 41.376808
    Unten links KachelX 2094 KachelY + 1 1531 0.07056312 0.72100989 4.042969 41.310824
    Unten rechts KachelX + 1 2095 KachelY + 1 1531 0.07209710 0.72100989 4.130860 41.310824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72216154-0.72100989) × R
    0.00115164999999995 × 6371000     		dl = 7337.16214999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72216154-0.72100989) × R
    0.00115164999999995 × 6371000     		dr = 7337.16214999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07056312-0.07209710) × cos(0.72216154) × R
    0.00153398 × 0.750378687593506 × 6371000     		do = 7333.44084376937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07056312-0.07209710) × cos(0.72100989) × R
    0.00153398 × 0.75113943989275 × 6371000     		du = 7340.87566578058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72216154)-sin(0.72100989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750378687593506-0.75113943989275)×R²
    abs(0.07209710-0.07056312)×0.000760752299243772×R²
    0.00153398×0.000760752299243772×6371000²
    0.00153398×0.000760752299243772×40589641000000     		ar = 53833925.7854779m²