Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20938 / 5211
↖ ↑ ↗
← N 76.611271°
E 50.031738°		 ← 282.88 m → N 76.611271°
E 50.042725°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
N 76.608726°
E 50.031738°		 ← 282.93 m →
80 044 m²		 N 76.608726°
E 50.042725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638992309570312 y=0.159042358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638992309570312 × 215)
    floor (0.638992309570312 × 32768)
    floor (20938.5)     		tx = 20938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159042358398438 × 215)
    floor (0.159042358398438 × 32768)
    floor (5211.5)     		ty = 5211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20938 / 5211 ti = "15/20938/5211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20938/5211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20938 ÷ 215
    20938 ÷ 32768     		x = 0.63897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5211 ÷ 215
    5211 ÷ 32768     		y = 0.159027099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63897705078125 × 2 - 1) × π
    0.2779541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87321856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159027099609375 × 2 - 1) × π
    0.68194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14239591781955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87321856} λ = 0.87321856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14239591781955))-π/2
    2×atan(8.51982599763217)-π/2
    2×1.45395762304179-π/2
    2.90791524608358-1.57079632675     		φ = 1.33711892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87321856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33711892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.611271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20938 KachelY 5211 0.87321856 1.33711892 50.031738 76.611271
    Oben rechts KachelX + 1 20939 KachelY 5211 0.87341031 1.33711892 50.042725 76.611271
    Unten links KachelX 20938 KachelY + 1 5212 0.87321856 1.33707451 50.031738 76.608726
    Unten rechts KachelX + 1 20939 KachelY + 1 5212 0.87341031 1.33707451 50.042725 76.608726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33711892-1.33707451) × R
    4.44099999998837e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33711892-1.33707451) × R
    4.44099999998837e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87321856-0.87341031) × cos(1.33711892) × R
    0.000191750000000046 × 0.231556541377107 × 6371000     		do = 282.878559540591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87321856-0.87341031) × cos(1.33707451) × R
    0.000191750000000046 × 0.23159974414922 × 6371000     		du = 282.931337742713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33711892)-sin(1.33707451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231556541377107-0.23159974414922)×R²
    abs(0.87341031-0.87321856)×4.32027721126715e-05×R²
    0.000191750000000046×4.32027721126715e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.32027721126715e-05×40589641000000     		ar = 80044.0256807038m²