Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20938 / 5209
↖ ↑ ↗
← N 76.616358°
E 50.031738°		 ← 282.77 m → N 76.616358°
E 50.042725°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
N 76.613815°
E 50.031738°		 ← 282.83 m →
79 960 m²		 N 76.613815°
E 50.042725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638992309570312 y=0.158981323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638992309570312 × 215)
    floor (0.638992309570312 × 32768)
    floor (20938.5)     		tx = 20938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158981323242188 × 215)
    floor (0.158981323242188 × 32768)
    floor (5209.5)     		ty = 5209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20938 / 5209 ti = "15/20938/5209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20938/5209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20938 ÷ 215
    20938 ÷ 32768     		x = 0.63897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5209 ÷ 215
    5209 ÷ 32768     		y = 0.158966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63897705078125 × 2 - 1) × π
    0.2779541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87321856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158966064453125 × 2 - 1) × π
    0.68206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14277941301651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87321856} λ = 0.87321856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14277941301651))-π/2
    2×atan(8.52309393656058)-π/2
    2×1.45400201517133-π/2
    2.90800403034266-1.57079632675     		φ = 1.33720770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87321856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33720770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.616358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20938 KachelY 5209 0.87321856 1.33720770 50.031738 76.616358
    Oben rechts KachelX + 1 20939 KachelY 5209 0.87341031 1.33720770 50.042725 76.616358
    Unten links KachelX 20938 KachelY + 1 5210 0.87321856 1.33716332 50.031738 76.613815
    Unten rechts KachelX + 1 20939 KachelY + 1 5210 0.87341031 1.33716332 50.042725 76.613815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33720770-1.33716332) × R
    4.4380000000066e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33720770-1.33716332) × R
    4.4380000000066e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87321856-0.87341031) × cos(1.33720770) × R
    0.000191750000000046 × 0.231470173376586 × 6371000     		do = 282.773049001211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87321856-0.87341031) × cos(1.33716332) × R
    0.000191750000000046 × 0.231513347876625 × 6371000     		du = 282.825792665057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33720770)-sin(1.33716332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231470173376586-0.231513347876625)×R²
    abs(0.87341031-0.87321856)×4.31745000386008e-05×R²
    0.000191750000000046×4.31745000386008e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.31745000386008e-05×40589641000000     		ar = 79960.1166011233m²