Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20937 / 5212
↖ ↑ ↗
← N 76.608726°
E 50.020752°		 ← 282.92 m → N 76.608726°
E 50.031738°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
N 76.606182°
E 50.020752°		 ← 282.97 m →
80 055 m²		 N 76.606182°
E 50.031738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638961791992188 y=0.159072875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638961791992188 × 215)
    floor (0.638961791992188 × 32768)
    floor (20937.5)     		tx = 20937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159072875976562 × 215)
    floor (0.159072875976562 × 32768)
    floor (5212.5)     		ty = 5212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20937 / 5212 ti = "15/20937/5212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20937/5212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20937 ÷ 215
    20937 ÷ 32768     		x = 0.638946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5212 ÷ 215
    5212 ÷ 32768     		y = 0.1590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638946533203125 × 2 - 1) × π
    0.27789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87302682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1590576171875 × 2 - 1) × π
    0.681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14220417022107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87302682} λ = 0.87302682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14220417022107))-π/2
    2×atan(8.51819249807246)-π/2
    2×1.45393542076567-π/2
    2.90787084153134-1.57079632675     		φ = 1.33707451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87302682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33707451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.608726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20937 KachelY 5212 0.87302682 1.33707451 50.020752 76.608726
    Oben rechts KachelX + 1 20938 KachelY 5212 0.87321856 1.33707451 50.031738 76.608726
    Unten links KachelX 20937 KachelY + 1 5213 0.87302682 1.33703010 50.020752 76.606182
    Unten rechts KachelX + 1 20938 KachelY + 1 5213 0.87321856 1.33703010 50.031738 76.606182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33707451-1.33703010) × R
    4.44100000001058e-05 × 6371000     		dl = 282.936110000674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33707451-1.33703010) × R
    4.44100000001058e-05 × 6371000     		dr = 282.936110000674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87302682-0.87321856) × cos(1.33707451) × R
    0.000191739999999996 × 0.23159974414922 × 6371000     		do = 282.916582522939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87302682-0.87321856) × cos(1.33703010) × R
    0.000191739999999996 × 0.231642946464561 × 6371000     		du = 282.96935741463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33707451)-sin(1.33703010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23159974414922-0.231642946464561)×R²
    abs(0.87321856-0.87302682)×4.32023153407179e-05×R²
    0.000191739999999996×4.32023153407179e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.32023153407179e-05×40589641000000     		ar = 80054.7832885057m²