Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20936 / 5205
↖ ↑ ↗
← N 76.626526°
E 50.009766°		 ← 282.56 m → N 76.626526°
E 50.020752°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 76.623985°
E 50.009766°		 ← 282.61 m →
79 846 m²		 N 76.623985°
E 50.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638931274414062 y=0.158859252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638931274414062 × 215)
    floor (0.638931274414062 × 32768)
    floor (20936.5)     		tx = 20936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158859252929688 × 215)
    floor (0.158859252929688 × 32768)
    floor (5205.5)     		ty = 5205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20936 / 5205 ti = "15/20936/5205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20936/5205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20936 ÷ 215
    20936 ÷ 32768     		x = 0.638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5205 ÷ 215
    5205 ÷ 32768     		y = 0.158843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638916015625 × 2 - 1) × π
    0.27783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87283507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158843994140625 × 2 - 1) × π
    0.68231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14354640341043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87283507} λ = 0.87283507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14354640341043))-π/2
    2×atan(8.52963357533588)-π/2
    2×1.45409074976003-π/2
    2.90818149952007-1.57079632675     		φ = 1.33738517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87283507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33738517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.626526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20936 KachelY 5205 0.87283507 1.33738517 50.009766 76.626526
    Oben rechts KachelX + 1 20937 KachelY 5205 0.87302682 1.33738517 50.020752 76.626526
    Unten links KachelX 20936 KachelY + 1 5206 0.87283507 1.33734082 50.009766 76.623985
    Unten rechts KachelX + 1 20937 KachelY + 1 5206 0.87302682 1.33734082 50.020752 76.623985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33738517-1.33734082) × R
    4.43499999998043e-05 × 6371000     		dl = 282.553849998753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33738517-1.33734082) × R
    4.43499999998043e-05 × 6371000     		dr = 282.553849998753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87283507-0.87302682) × cos(1.33738517) × R
    0.000191749999999935 × 0.231297519462436 × 6371000     		do = 282.562128202854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87283507-0.87302682) × cos(1.33734082) × R
    0.000191749999999935 × 0.231340666598867 × 6371000     		du = 282.614838438244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33738517)-sin(1.33734082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231297519462436-0.231340666598867)×R²
    abs(0.87302682-0.87283507)×4.31471364309155e-05×R²
    0.000191749999999935×4.31471364309155e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.31471364309155e-05×40589641000000     		ar = 79846.4639405345m²