Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20935 / 5208
↖ ↑ ↗
← N 76.618900°
E 49.998779°		 ← 282.72 m → N 76.618900°
E 50.009766°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
N 76.616358°
E 49.998779°		 ← 282.77 m →
79 945 m²		 N 76.616358°
E 50.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638900756835938 y=0.158950805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638900756835938 × 215)
    floor (0.638900756835938 × 32768)
    floor (20935.5)     		tx = 20935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158950805664062 × 215)
    floor (0.158950805664062 × 32768)
    floor (5208.5)     		ty = 5208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20935 / 5208 ti = "15/20935/5208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20935/5208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20935 ÷ 215
    20935 ÷ 32768     		x = 0.638885498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5208 ÷ 215
    5208 ÷ 32768     		y = 0.158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638885498046875 × 2 - 1) × π
    0.27777099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87264332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158935546875 × 2 - 1) × π
    0.68212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14297116061499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87264332} λ = 0.87264332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14297116061499))-π/2
    2×atan(8.52472837604946)-π/2
    2×1.45402420502621-π/2
    2.90804841005243-1.57079632675     		φ = 1.33725208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87264332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.998779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33725208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.618900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20935 KachelY 5208 0.87264332 1.33725208 49.998779 76.618900
    Oben rechts KachelX + 1 20936 KachelY 5208 0.87283507 1.33725208 50.009766 76.618900
    Unten links KachelX 20935 KachelY + 1 5209 0.87264332 1.33720770 49.998779 76.616358
    Unten rechts KachelX + 1 20936 KachelY + 1 5209 0.87283507 1.33720770 50.009766 76.616358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33725208-1.33720770) × R
    4.4380000000066e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33725208-1.33720770) × R
    4.4380000000066e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87264332-0.87283507) × cos(1.33725208) × R
    0.000191750000000046 × 0.231426998420648 × 6371000     		do = 282.720304780419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87264332-0.87283507) × cos(1.33720770) × R
    0.000191750000000046 × 0.231470173376586 × 6371000     		du = 282.773049001211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33725208)-sin(1.33720770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231426998420648-0.231470173376586)×R²
    abs(0.87283507-0.87264332)×4.31749559386407e-05×R²
    0.000191750000000046×4.31749559386407e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.31749559386407e-05×40589641000000     		ar = 79945.2035156068m²