Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20934 / 5205
↖ ↑ ↗
← N 76.626526°
E 49.987793°		 ← 282.56 m → N 76.626526°
E 49.998779°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 76.623985°
E 49.987793°		 ← 282.61 m →
79 846 m²		 N 76.623985°
E 49.998779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638870239257812 y=0.158859252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638870239257812 × 215)
    floor (0.638870239257812 × 32768)
    floor (20934.5)     		tx = 20934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158859252929688 × 215)
    floor (0.158859252929688 × 32768)
    floor (5205.5)     		ty = 5205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20934 / 5205 ti = "15/20934/5205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20934/5205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20934 ÷ 215
    20934 ÷ 32768     		x = 0.63885498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5205 ÷ 215
    5205 ÷ 32768     		y = 0.158843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63885498046875 × 2 - 1) × π
    0.2777099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87245157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158843994140625 × 2 - 1) × π
    0.68231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14354640341043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87245157} λ = 0.87245157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14354640341043))-π/2
    2×atan(8.52963357533588)-π/2
    2×1.45409074976003-π/2
    2.90818149952007-1.57079632675     		φ = 1.33738517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87245157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33738517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.626526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20934 KachelY 5205 0.87245157 1.33738517 49.987793 76.626526
    Oben rechts KachelX + 1 20935 KachelY 5205 0.87264332 1.33738517 49.998779 76.626526
    Unten links KachelX 20934 KachelY + 1 5206 0.87245157 1.33734082 49.987793 76.623985
    Unten rechts KachelX + 1 20935 KachelY + 1 5206 0.87264332 1.33734082 49.998779 76.623985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33738517-1.33734082) × R
    4.43499999998043e-05 × 6371000     		dl = 282.553849998753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33738517-1.33734082) × R
    4.43499999998043e-05 × 6371000     		dr = 282.553849998753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87245157-0.87264332) × cos(1.33738517) × R
    0.000191750000000046 × 0.231297519462436 × 6371000     		do = 282.562128203018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87245157-0.87264332) × cos(1.33734082) × R
    0.000191750000000046 × 0.231340666598867 × 6371000     		du = 282.614838438407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33738517)-sin(1.33734082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231297519462436-0.231340666598867)×R²
    abs(0.87264332-0.87245157)×4.31471364309155e-05×R²
    0.000191750000000046×4.31471364309155e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.31471364309155e-05×40589641000000     		ar = 79846.4639405807m²