Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20934 / 5204
↖ ↑ ↗
← N 76.629067°
E 49.987793°		 ← 282.51 m → N 76.629067°
E 49.998779°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 76.626526°
E 49.987793°		 ← 282.56 m →
79 832 m²		 N 76.626526°
E 49.998779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638870239257812 y=0.158828735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638870239257812 × 215)
    floor (0.638870239257812 × 32768)
    floor (20934.5)     		tx = 20934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158828735351562 × 215)
    floor (0.158828735351562 × 32768)
    floor (5204.5)     		ty = 5204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20934 / 5204 ti = "15/20934/5204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20934/5204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20934 ÷ 215
    20934 ÷ 32768     		x = 0.63885498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5204 ÷ 215
    5204 ÷ 32768     		y = 0.1588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63885498046875 × 2 - 1) × π
    0.2777099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87245157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1588134765625 × 2 - 1) × π
    0.682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14373815100891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87245157} λ = 0.87245157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14373815100891))-π/2
    2×atan(8.53126926890501)-π/2
    2×1.45411292306346-π/2
    2.90822584612692-1.57079632675     		φ = 1.33742952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87245157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33742952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.629067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20934 KachelY 5204 0.87245157 1.33742952 49.987793 76.629067
    Oben rechts KachelX + 1 20935 KachelY 5204 0.87264332 1.33742952 49.998779 76.629067
    Unten links KachelX 20934 KachelY + 1 5205 0.87245157 1.33738517 49.987793 76.626526
    Unten rechts KachelX + 1 20935 KachelY + 1 5205 0.87264332 1.33738517 49.998779 76.626526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33742952-1.33738517) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dl = 282.553850000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33742952-1.33738517) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dr = 282.553850000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87245157-0.87264332) × cos(1.33742952) × R
    0.000191750000000046 × 0.23125437187106 × 6371000     		do = 282.509417411851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87245157-0.87264332) × cos(1.33738517) × R
    0.000191750000000046 × 0.231297519462436 × 6371000     		du = 282.562128203018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33742952)-sin(1.33738517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23125437187106-0.231297519462436)×R²
    abs(0.87264332-0.87245157)×4.3147591375442e-05×R²
    0.000191750000000046×4.3147591375442e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.3147591375442e-05×40589641000000     		ar = 79831.5703827165m²