Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20934 / 12759
↖ ↑ ↗
← N 80.890673°
W122.503052°		 ← 48.35 m → N 80.890673°
W122.500305°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
N 80.890238°
W122.503052°		 ← 48.36 m →
2 338 m²		 N 80.890238°
W122.500305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159717559814453 y=0.0973472595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159717559814453 × 217)
    floor (0.159717559814453 × 131072)
    floor (20934.5)     		tx = 20934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0973472595214844 × 217)
    floor (0.0973472595214844 × 131072)
    floor (12759.5)     		ty = 12759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20934 / 12759 ti = "17/20934/12759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20934/12759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20934 ÷ 217
    20934 ÷ 131072     		x = 0.159713745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12759 ÷ 217
    12759 ÷ 131072     		y = 0.0973434448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159713745117188 × 2 - 1) × π
    -0.680572509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.13808160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0973434448242188 × 2 - 1) × π
    0.805313110351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.5299657512477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13808160} λ = -2.13808160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5299657512477))-π/2
    2×atan(12.5530762021085)-π/2
    2×1.49130245051007-π/2
    2.98260490102015-1.57079632675     		φ = 1.41180857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13808160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.503052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41180857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.890673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20934 KachelY 12759 -2.13808160 1.41180857 -122.503052 80.890673
    Oben rechts KachelX + 1 20935 KachelY 12759 -2.13803366 1.41180857 -122.500305 80.890673
    Unten links KachelX 20934 KachelY + 1 12760 -2.13808160 1.41180098 -122.503052 80.890238
    Unten rechts KachelX + 1 20935 KachelY + 1 12760 -2.13803366 1.41180098 -122.500305 80.890238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41180857-1.41180098) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41180857-1.41180098) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13808160--2.13803366) × cos(1.41180857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158318811053809 × 6371000     		do = 48.3546400219982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13808160--2.13803366) × cos(1.41180098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158326305324521 × 6371000     		du = 48.356928965176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41180857)-sin(1.41180098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158318811053809-0.158326305324521)×R²
    abs(-2.13803366--2.13808160)×7.49427071150555e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.49427071150555e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.49427071150555e-06×40589641000000     		ar = 2338.28699594195m²