Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20934 / 12734
↖ ↑ ↗
← N 80.901537°
W122.503052°		 ← 48.30 m → N 80.901537°
W122.500305°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
N 80.901103°
W122.503052°		 ← 48.30 m →
2 332 m²		 N 80.901103°
W122.500305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159717559814453 y=0.0971565246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159717559814453 × 217)
    floor (0.159717559814453 × 131072)
    floor (20934.5)     		tx = 20934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0971565246582031 × 217)
    floor (0.0971565246582031 × 131072)
    floor (12734.5)     		ty = 12734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20934 / 12734 ti = "17/20934/12734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20934/12734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20934 ÷ 217
    20934 ÷ 131072     		x = 0.159713745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12734 ÷ 217
    12734 ÷ 131072     		y = 0.0971527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159713745117188 × 2 - 1) × π
    -0.680572509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.13808160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0971527099609375 × 2 - 1) × π
    0.805694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53116417373821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13808160} λ = -2.13808160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53116417373821))-π/2
    2×atan(12.5681291090236)-π/2
    2×1.49139726081296-π/2
    2.98279452162593-1.57079632675     		φ = 1.41199819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13808160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.503052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41199819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.901537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20934 KachelY 12734 -2.13808160 1.41199819 -122.503052 80.901537
    Oben rechts KachelX + 1 20935 KachelY 12734 -2.13803366 1.41199819 -122.500305 80.901537
    Unten links KachelX 20934 KachelY + 1 12735 -2.13808160 1.41199061 -122.503052 80.901103
    Unten rechts KachelX + 1 20935 KachelY + 1 12735 -2.13803366 1.41199061 -122.500305 80.901103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41199819-1.41199061) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41199819-1.41199061) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13808160--2.13803366) × cos(1.41199819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158131579687348 × 6371000     		do = 48.2974547433456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13808160--2.13803366) × cos(1.41199061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158139064311617 × 6371000     		du = 48.2997407402515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41199819)-sin(1.41199061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158131579687348-0.158139064311617)×R²
    abs(-2.13803366--2.13808160)×7.48462426869434e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48462426869434e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48462426869434e-06×40589641000000     		ar = 2332.44457593305m²