Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20933 / 5217
↖ ↑ ↗
← N 76.595999°
E 49.976807°		 ← 283.18 m → N 76.595999°
E 49.987793°		 →
↑
283.25 m
↓
↑
283.25 m
↓
N 76.593451°
E 49.976807°		 ← 283.23 m →
80 220 m²		 N 76.593451°
E 49.987793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638839721679688 y=0.159225463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638839721679688 × 215)
    floor (0.638839721679688 × 32768)
    floor (20933.5)     		tx = 20933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159225463867188 × 215)
    floor (0.159225463867188 × 32768)
    floor (5217.5)     		ty = 5217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20933 / 5217 ti = "15/20933/5217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20933/5217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20933 ÷ 215
    20933 ÷ 32768     		x = 0.638824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5217 ÷ 215
    5217 ÷ 32768     		y = 0.159210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638824462890625 × 2 - 1) × π
    0.27764892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87225983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159210205078125 × 2 - 1) × π
    0.68157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14124543222867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87225983} λ = 0.87225983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14124543222867))-π/2
    2×atan(8.51002969691702)-π/2
    2×1.45382434724244-π/2
    2.90764869448488-1.57079632675     		φ = 1.33685237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87225983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.976807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33685237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.595999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20933 KachelY 5217 0.87225983 1.33685237 49.976807 76.595999
    Oben rechts KachelX + 1 20934 KachelY 5217 0.87245157 1.33685237 49.987793 76.595999
    Unten links KachelX 20933 KachelY + 1 5218 0.87225983 1.33680791 49.976807 76.593451
    Unten rechts KachelX + 1 20934 KachelY + 1 5218 0.87245157 1.33680791 49.987793 76.593451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33685237-1.33680791) × R
    4.44599999998019e-05 × 6371000     		dl = 283.254659998738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33685237-1.33680791) × R
    4.44599999998019e-05 × 6371000     		dr = 283.254659998738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87225983-0.87245157) × cos(1.33685237) × R
    0.000191739999999996 × 0.231815838704871 × 6371000     		do = 283.180558346449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87225983-0.87245157) × cos(1.33680791) × R
    0.000191739999999996 × 0.231859087371615 × 6371000     		du = 283.233389859882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33685237)-sin(1.33680791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231815838704871-0.231859087371615)×R²
    abs(0.87245157-0.87225983)×4.32486667444332e-05×R²
    0.000191739999999996×4.32486667444332e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.32486667444332e-05×40589641000000     		ar = 80219.6951727535m²