Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20932 / 5178
↖ ↑ ↗
← N 76.694963°
E 49.965820°		 ← 281.14 m → N 76.694963°
E 49.976807°		 →
↑
281.15 m
↓
↑
281.15 m
↓
N 76.692435°
E 49.965820°		 ← 281.19 m →
79 051 m²		 N 76.692435°
E 49.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638809204101562 y=0.158035278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638809204101562 × 215)
    floor (0.638809204101562 × 32768)
    floor (20932.5)     		tx = 20932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158035278320312 × 215)
    floor (0.158035278320312 × 32768)
    floor (5178.5)     		ty = 5178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20932 / 5178 ti = "15/20932/5178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20932/5178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20932 ÷ 215
    20932 ÷ 32768     		x = 0.6387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5178 ÷ 215
    5178 ÷ 32768     		y = 0.15802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6387939453125 × 2 - 1) × π
    0.277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87206808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15802001953125 × 2 - 1) × π
    0.6839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1487235885694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87206808} λ = 0.87206808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1487235885694))-π/2
    2×atan(8.57390757615297)-π/2
    2×1.45468797932886-π/2
    2.90937595865772-1.57079632675     		φ = 1.33857963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87206808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33857963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.694963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20932 KachelY 5178 0.87206808 1.33857963 49.965820 76.694963
    Oben rechts KachelX + 1 20933 KachelY 5178 0.87225983 1.33857963 49.976807 76.694963
    Unten links KachelX 20932 KachelY + 1 5179 0.87206808 1.33853550 49.965820 76.692435
    Unten rechts KachelX + 1 20933 KachelY + 1 5179 0.87225983 1.33853550 49.976807 76.692435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33857963-1.33853550) × R
    4.4129999999809e-05 × 6371000     		dl = 281.152229998783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33857963-1.33853550) × R
    4.4129999999809e-05 × 6371000     		dr = 281.152229998783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87206808-0.87225983) × cos(1.33857963) × R
    0.000191749999999935 × 0.230135284833279 × 6371000     		do = 281.142296762168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87206808-0.87225983) × cos(1.33853550) × R
    0.000191749999999935 × 0.230178230100232 × 6371000     		du = 281.19476038588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33857963)-sin(1.33853550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230135284833279-0.230178230100232)×R²
    abs(0.87225983-0.87206808)×4.2945266953448e-05×R²
    0.000191749999999935×4.2945266953448e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.2945266953448e-05×40589641000000     		ar = 79051.1588272789m²