Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20932 / 5132
↖ ↑ ↗
← N 76.810770°
E 49.965820°		 ← 278.74 m → N 76.810770°
E 49.976807°		 →
↑
278.79 m
↓
↑
278.79 m
↓
N 76.808262°
E 49.965820°		 ← 278.79 m →
77 718 m²		 N 76.808262°
E 49.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638809204101562 y=0.156631469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638809204101562 × 215)
    floor (0.638809204101562 × 32768)
    floor (20932.5)     		tx = 20932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156631469726562 × 215)
    floor (0.156631469726562 × 32768)
    floor (5132.5)     		ty = 5132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20932 / 5132 ti = "15/20932/5132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20932/5132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20932 ÷ 215
    20932 ÷ 32768     		x = 0.6387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5132 ÷ 215
    5132 ÷ 32768     		y = 0.1566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6387939453125 × 2 - 1) × π
    0.277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87206808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1566162109375 × 2 - 1) × π
    0.686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15754397809949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87206808} λ = 0.87206808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15754397809949))-π/2
    2×atan(8.64986728541491)-π/2
    2×1.45569857655127-π/2
    2.91139715310254-1.57079632675     		φ = 1.34060083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87206808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34060083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.810770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20932 KachelY 5132 0.87206808 1.34060083 49.965820 76.810770
    Oben rechts KachelX + 1 20933 KachelY 5132 0.87225983 1.34060083 49.976807 76.810770
    Unten links KachelX 20932 KachelY + 1 5133 0.87206808 1.34055707 49.965820 76.808262
    Unten rechts KachelX + 1 20933 KachelY + 1 5133 0.87225983 1.34055707 49.976807 76.808262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34060083-1.34055707) × R
    4.37600000000593e-05 × 6371000     		dl = 278.794960000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34060083-1.34055707) × R
    4.37600000000593e-05 × 6371000     		dr = 278.794960000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87206808-0.87225983) × cos(1.34060083) × R
    0.000191749999999935 × 0.228167867836962 × 6371000     		do = 278.738822938351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87206808-0.87225983) × cos(1.34055707) × R
    0.000191749999999935 × 0.228210473308782 × 6371000     		du = 278.790871454991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34060083)-sin(1.34055707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228167867836962-0.228210473308782)×R²
    abs(0.87225983-0.87206808)×4.26054718200841e-05×R²
    0.000191749999999935×4.26054718200841e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.26054718200841e-05×40589641000000     		ar = 77718.2344357481m²