Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20929 / 5185
↖ ↑ ↗
← N 76.677253°
E 49.932862°		 ← 281.50 m → N 76.677253°
E 49.943848°		 →
↑
281.47 m
↓
↑
281.47 m
↓
N 76.674722°
E 49.932862°		 ← 281.55 m →
79 240 m²		 N 76.674722°
E 49.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638717651367188 y=0.158248901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638717651367188 × 215)
    floor (0.638717651367188 × 32768)
    floor (20929.5)     		tx = 20929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158248901367188 × 215)
    floor (0.158248901367188 × 32768)
    floor (5185.5)     		ty = 5185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20929 / 5185 ti = "15/20929/5185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20929/5185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20929 ÷ 215
    20929 ÷ 32768     		x = 0.638702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5185 ÷ 215
    5185 ÷ 32768     		y = 0.158233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638702392578125 × 2 - 1) × π
    0.27740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87149284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158233642578125 × 2 - 1) × π
    0.68353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14738135538004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87149284} λ = 0.87149284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14738135538004))-π/2
    2×atan(8.56240711272019)-π/2
    2×1.45453343080975-π/2
    2.9090668616195-1.57079632675     		φ = 1.33827053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87149284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.932862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33827053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.677253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20929 KachelY 5185 0.87149284 1.33827053 49.932862 76.677253
    Oben rechts KachelX + 1 20930 KachelY 5185 0.87168458 1.33827053 49.943848 76.677253
    Unten links KachelX 20929 KachelY + 1 5186 0.87149284 1.33822635 49.932862 76.674722
    Unten rechts KachelX + 1 20930 KachelY + 1 5186 0.87168458 1.33822635 49.943848 76.674722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33827053-1.33822635) × R
    4.41799999999493e-05 × 6371000     		dl = 281.470779999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33827053-1.33822635) × R
    4.41799999999493e-05 × 6371000     		dr = 281.470779999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87149284-0.87168458) × cos(1.33827053) × R
    0.000191739999999996 × 0.230436077172143 × 6371000     		do = 281.495075407037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87149284-0.87168458) × cos(1.33822635) × R
    0.000191739999999996 × 0.230479067951438 × 6371000     		du = 281.547591891468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33827053)-sin(1.33822635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230436077172143-0.230479067951438)×R²
    abs(0.87168458-0.87149284)×4.29907792941497e-05×R²
    0.000191739999999996×4.29907792941497e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.29907792941497e-05×40589641000000     		ar = 79240.0293817868m²