Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20927 / 5221
↖ ↑ ↗
← N 76.585807°
E 49.910889°		 ← 283.41 m → N 76.585807°
E 49.921875°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
N 76.583258°
E 49.910889°		 ← 283.46 m →
80 338 m²		 N 76.583258°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638656616210938 y=0.159347534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638656616210938 × 215)
    floor (0.638656616210938 × 32768)
    floor (20927.5)     		tx = 20927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159347534179688 × 215)
    floor (0.159347534179688 × 32768)
    floor (5221.5)     		ty = 5221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20927 / 5221 ti = "15/20927/5221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20927/5221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20927 ÷ 215
    20927 ÷ 32768     		x = 0.638641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5221 ÷ 215
    5221 ÷ 32768     		y = 0.159332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638641357421875 × 2 - 1) × π
    0.27728271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87110934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159332275390625 × 2 - 1) × π
    0.68133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14047844183475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87110934} λ = 0.87110934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14047844183475))-π/2
    2×atan(8.50350508836341)-π/2
    2×1.45373541380895-π/2
    2.90747082761791-1.57079632675     		φ = 1.33667450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87110934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.910889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33667450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.585807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20927 KachelY 5221 0.87110934 1.33667450 49.910889 76.585807
    Oben rechts KachelX + 1 20928 KachelY 5221 0.87130109 1.33667450 49.921875 76.585807
    Unten links KachelX 20927 KachelY + 1 5222 0.87110934 1.33663001 49.910889 76.583258
    Unten rechts KachelX + 1 20928 KachelY + 1 5222 0.87130109 1.33663001 49.921875 76.583258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33667450-1.33663001) × R
    4.44900000000636e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33667450-1.33663001) × R
    4.44900000000636e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87110934-0.87130109) × cos(1.33667450) × R
    0.000191750000000046 × 0.231988859803177 × 6371000     		do = 283.406696698376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87110934-0.87130109) × cos(1.33663001) × R
    0.000191750000000046 × 0.232032135817087 × 6371000     		du = 283.459564375553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33667450)-sin(1.33663001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231988859803177-0.232032135817087)×R²
    abs(0.87130109-0.87110934)×4.32760139103816e-05×R²
    0.000191750000000046×4.32760139103816e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.32760139103816e-05×40589641000000     		ar = 80337.9276108546m²