Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20927 / 5183
↖ ↑ ↗
← N 76.682316°
E 49.910889°		 ← 281.40 m → N 76.682316°
E 49.921875°		 →
↑
281.41 m
↓
↑
281.41 m
↓
N 76.679785°
E 49.910889°		 ← 281.46 m →
79 197 m²		 N 76.679785°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638656616210938 y=0.158187866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638656616210938 × 215)
    floor (0.638656616210938 × 32768)
    floor (20927.5)     		tx = 20927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158187866210938 × 215)
    floor (0.158187866210938 × 32768)
    floor (5183.5)     		ty = 5183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20927 / 5183 ti = "15/20927/5183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20927/5183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20927 ÷ 215
    20927 ÷ 32768     		x = 0.638641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5183 ÷ 215
    5183 ÷ 32768     		y = 0.158172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638641357421875 × 2 - 1) × π
    0.27728271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87110934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158172607421875 × 2 - 1) × π
    0.68365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.147764850577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87110934} λ = 0.87110934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.147764850577))-π/2
    2×atan(8.5656913844333)-π/2
    2×1.45457760812976-π/2
    2.90915521625952-1.57079632675     		φ = 1.33835889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87110934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.910889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33835889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.682316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20927 KachelY 5183 0.87110934 1.33835889 49.910889 76.682316
    Oben rechts KachelX + 1 20928 KachelY 5183 0.87130109 1.33835889 49.921875 76.682316
    Unten links KachelX 20927 KachelY + 1 5184 0.87110934 1.33831472 49.910889 76.679785
    Unten rechts KachelX + 1 20928 KachelY + 1 5184 0.87130109 1.33831472 49.921875 76.679785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33835889-1.33831472) × R
    4.417000000001e-05 × 6371000     		dl = 281.407070000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33835889-1.33831472) × R
    4.417000000001e-05 × 6371000     		dr = 281.407070000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87110934-0.87130109) × cos(1.33835889) × R
    0.000191750000000046 × 0.230350094264293 × 6371000     		do = 281.404716394528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87110934-0.87130109) × cos(1.33831472) × R
    0.000191750000000046 × 0.230393076212091 × 6371000     		du = 281.457224828999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33835889)-sin(1.33831472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230350094264293-0.230393076212091)×R²
    abs(0.87130109-0.87110934)×4.29819477974769e-05×R²
    0.000191750000000046×4.29819477974769e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.29819477974769e-05×40589641000000     		ar = 79196.6648606186m²