Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20926 / 5182
↖ ↑ ↗
← N 76.684846°
E 49.899902°		 ← 281.35 m → N 76.684846°
E 49.910889°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
N 76.682316°
E 49.899902°		 ← 281.40 m →
79 164 m²		 N 76.682316°
E 49.910889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638626098632812 y=0.158157348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638626098632812 × 215)
    floor (0.638626098632812 × 32768)
    floor (20926.5)     		tx = 20926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158157348632812 × 215)
    floor (0.158157348632812 × 32768)
    floor (5182.5)     		ty = 5182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20926 / 5182 ti = "15/20926/5182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20926/5182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20926 ÷ 215
    20926 ÷ 32768     		x = 0.63861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5182 ÷ 215
    5182 ÷ 32768     		y = 0.15814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63861083984375 × 2 - 1) × π
    0.2772216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87091759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15814208984375 × 2 - 1) × π
    0.6837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14795659817548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87091759} λ = 0.87091759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14795659817548))-π/2
    2×atan(8.56733399266365)-π/2
    2×1.45459969060823-π/2
    2.90919938121646-1.57079632675     		φ = 1.33840305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87091759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.899902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33840305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.684846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20926 KachelY 5182 0.87091759 1.33840305 49.899902 76.684846
    Oben rechts KachelX + 1 20927 KachelY 5182 0.87110934 1.33840305 49.910889 76.684846
    Unten links KachelX 20926 KachelY + 1 5183 0.87091759 1.33835889 49.899902 76.682316
    Unten rechts KachelX + 1 20927 KachelY + 1 5183 0.87110934 1.33835889 49.910889 76.682316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33840305-1.33835889) × R
    4.41599999998488e-05 × 6371000     		dl = 281.343359999036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33840305-1.33835889) × R
    4.41599999998488e-05 × 6371000     		dr = 281.343359999036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87091759-0.87110934) × cos(1.33840305) × R
    0.000191749999999935 × 0.230307121598265 × 6371000     		do = 281.352219298869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87091759-0.87110934) × cos(1.33835889) × R
    0.000191749999999935 × 0.230350094264293 × 6371000     		du = 281.404716394365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33840305)-sin(1.33835889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230307121598265-0.230350094264293)×R²
    abs(0.87110934-0.87091759)×4.29726660278462e-05×R²
    0.000191749999999935×4.29726660278462e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.29726660278462e-05×40589641000000     		ar = 79163.9635881526m²