Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20926 / 30219
↖ ↑ ↗
← N 69.151808°
W122.525024°		 ← 108.68 m → N 69.151808°
W122.522278°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
N 69.150831°
W122.525024°		 ← 108.68 m →
11 812 m²		 N 69.150831°
W122.522278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159656524658203 y=0.230556488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159656524658203 × 217)
    floor (0.159656524658203 × 131072)
    floor (20926.5)     		tx = 20926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230556488037109 × 217)
    floor (0.230556488037109 × 131072)
    floor (30219.5)     		ty = 30219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20926 / 30219 ti = "17/20926/30219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20926/30219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20926 ÷ 217
    20926 ÷ 131072     		x = 0.159652709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30219 ÷ 217
    30219 ÷ 131072     		y = 0.230552673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159652709960938 × 2 - 1) × π
    -0.680694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13846509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230552673339844 × 2 - 1) × π
    0.538894653320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.69298748388152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13846509} λ = -2.13846509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69298748388152))-π/2
    2×atan(5.43569552508078)-π/2
    2×1.38886153153247-π/2
    2.77772306306494-1.57079632675     		φ = 1.20692674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13846509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.525024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20692674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.151808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20926 KachelY 30219 -2.13846509 1.20692674 -122.525024 69.151808
    Oben rechts KachelX + 1 20927 KachelY 30219 -2.13841716 1.20692674 -122.522278 69.151808
    Unten links KachelX 20926 KachelY + 1 30220 -2.13846509 1.20690968 -122.525024 69.150831
    Unten rechts KachelX + 1 20927 KachelY + 1 30220 -2.13841716 1.20690968 -122.522278 69.150831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20692674-1.20690968) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20692674-1.20690968) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13846509--2.13841716) × cos(1.20692674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355893120806026 × 6371000     		do = 108.67624583243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13846509--2.13841716) × cos(1.20690968) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355909063779131 × 6371000     		du = 108.681114211061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20692674)-sin(1.20690968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355893120806026-0.355909063779131)×R²
    abs(-2.13841716--2.13846509)×1.59429731045324e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59429731045324e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59429731045324e-05×40589641000000     		ar = 11812.2053094262m²