Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20925 / 4951
↖ ↑ ↗
← N 77.256902°
E 49.888916°		 ← 269.47 m → N 77.256902°
E 49.899902°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 77.254479°
E 49.888916°		 ← 269.52 m →
72 610 m²		 N 77.254479°
E 49.899902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638595581054688 y=0.151107788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638595581054688 × 215)
    floor (0.638595581054688 × 32768)
    floor (20925.5)     		tx = 20925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151107788085938 × 215)
    floor (0.151107788085938 × 32768)
    floor (4951.5)     		ty = 4951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20925 / 4951 ti = "15/20925/4951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20925/4951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20925 ÷ 215
    20925 ÷ 32768     		x = 0.638580322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4951 ÷ 215
    4951 ÷ 32768     		y = 0.151092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638580322265625 × 2 - 1) × π
    0.27716064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87072584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151092529296875 × 2 - 1) × π
    0.69781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19225029342441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87072584} λ = 0.87072584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19225029342441))-π/2
    2×atan(8.95534260615322)-π/2
    2×1.45959182083811-π/2
    2.91918364167622-1.57079632675     		φ = 1.34838731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87072584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.888916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34838731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.256902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20925 KachelY 4951 0.87072584 1.34838731 49.888916 77.256902
    Oben rechts KachelX + 1 20926 KachelY 4951 0.87091759 1.34838731 49.899902 77.256902
    Unten links KachelX 20925 KachelY + 1 4952 0.87072584 1.34834502 49.888916 77.254479
    Unten rechts KachelX + 1 20926 KachelY + 1 4952 0.87091759 1.34834502 49.899902 77.254479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34838731-1.34834502) × R
    4.22899999998894e-05 × 6371000     		dl = 269.429589999295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34838731-1.34834502) × R
    4.22899999998894e-05 × 6371000     		dr = 269.429589999295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87072584-0.87091759) × cos(1.34838731) × R
    0.000191750000000046 × 0.220579940920063 × 6371000     		do = 269.469113590695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87072584-0.87091759) × cos(1.34834502) × R
    0.000191750000000046 × 0.220621189073553 × 6371000     		du = 269.519503953989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34838731)-sin(1.34834502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220579940920063-0.220621189073553)×R²
    abs(0.87091759-0.87072584)×4.12481534902975e-05×R²
    0.000191750000000046×4.12481534902975e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.12481534902975e-05×40589641000000     		ar = 72609.7411305792m²