Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20924 / 30220
↖ ↑ ↗
← N 69.150831°
W122.530518°		 ← 108.70 m → N 69.150831°
W122.527771°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
N 69.149853°
W122.530518°		 ← 108.71 m →
11 822 m²		 N 69.149853°
W122.527771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159641265869141 y=0.230564117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159641265869141 × 217)
    floor (0.159641265869141 × 131072)
    floor (20924.5)     		tx = 20924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230564117431641 × 217)
    floor (0.230564117431641 × 131072)
    floor (30220.5)     		ty = 30220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20924 / 30220 ti = "17/20924/30220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20924/30220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20924 ÷ 217
    20924 ÷ 131072     		x = 0.159637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30220 ÷ 217
    30220 ÷ 131072     		y = 0.230560302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.68072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.13856097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230560302734375 × 2 - 1) × π
    0.53887939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6929395469819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13856097} λ = -2.13856097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6929395469819))-π/2
    2×atan(5.4354349609354)-π/2
    2×1.38885300113491-π/2
    2.77770600226982-1.57079632675     		φ = 1.20690968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13856097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.530518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20690968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.150831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20924 KachelY 30220 -2.13856097 1.20690968 -122.530518 69.150831
    Oben rechts KachelX + 1 20925 KachelY 30220 -2.13851303 1.20690968 -122.527771 69.150831
    Unten links KachelX 20924 KachelY + 1 30221 -2.13856097 1.20689261 -122.530518 69.149853
    Unten rechts KachelX + 1 20925 KachelY + 1 30221 -2.13851303 1.20689261 -122.527771 69.149853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20690968-1.20689261) × R
    1.70700000001744e-05 × 6371000     		dl = 108.752970001111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20690968-1.20689261) × R
    1.70700000001744e-05 × 6371000     		dr = 108.752970001111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13856097--2.13851303) × cos(1.20690968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355909063779131 × 6371000     		do = 108.703789177377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13856097--2.13851303) × cos(1.20689261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355925015993796 × 6371000     		du = 108.708661394346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20690968)-sin(1.20689261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355909063779131-0.355925015993796)×R²
    abs(-2.13851303--2.13856097)×1.59522146647717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59522146647717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59522146647717e-05×40589641000000     		ar = 11822.124857801m²