Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20923 / 5253
↖ ↑ ↗
← N 76.504005°
E 49.866943°		 ← 285.10 m → N 76.504005°
E 49.877930°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
N 76.501441°
E 49.866943°		 ← 285.16 m →
81 291 m²		 N 76.501441°
E 49.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638534545898438 y=0.160324096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638534545898438 × 215)
    floor (0.638534545898438 × 32768)
    floor (20923.5)     		tx = 20923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160324096679688 × 215)
    floor (0.160324096679688 × 32768)
    floor (5253.5)     		ty = 5253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20923 / 5253 ti = "15/20923/5253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20923/5253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20923 ÷ 215
    20923 ÷ 32768     		x = 0.638519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5253 ÷ 215
    5253 ÷ 32768     		y = 0.160308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638519287109375 × 2 - 1) × π
    0.27703857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87034235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160308837890625 × 2 - 1) × π
    0.67938232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13434251868338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87034235} λ = 0.87034235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13434251868338))-π/2
    2×atan(8.45148798430211)-π/2
    2×1.45302155291564-π/2
    2.90604310583129-1.57079632675     		φ = 1.33524678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87034235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.866943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33524678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.504005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20923 KachelY 5253 0.87034235 1.33524678 49.866943 76.504005
    Oben rechts KachelX + 1 20924 KachelY 5253 0.87053410 1.33524678 49.877930 76.504005
    Unten links KachelX 20923 KachelY + 1 5254 0.87034235 1.33520203 49.866943 76.501441
    Unten rechts KachelX + 1 20924 KachelY + 1 5254 0.87053410 1.33520203 49.877930 76.501441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33524678-1.33520203) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dl = 285.102250000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33524678-1.33520203) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dr = 285.102250000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87034235-0.87053410) × cos(1.33524678) × R
    0.000191749999999935 × 0.233377392465301 × 6371000     		do = 285.10298269817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87034235-0.87053410) × cos(1.33520203) × R
    0.000191749999999935 × 0.233420906515688 × 6371000     		du = 285.156141170048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33524678)-sin(1.33520203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233377392465301-0.233420906515688)×R²
    abs(0.87053410-0.87034235)×4.35140503867448e-05×R²
    0.000191749999999935×4.35140503867448e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.35140503867448e-05×40589641000000     		ar = 81291.0796624766m²