Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20923 / 4989
↖ ↑ ↗
← N 77.164487°
E 49.866943°		 ← 271.39 m → N 77.164487°
E 49.877930°		 →
↑
271.47 m
↓
↑
271.47 m
↓
N 77.162045°
E 49.866943°		 ← 271.44 m →
73 681 m²		 N 77.162045°
E 49.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638534545898438 y=0.152267456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638534545898438 × 215)
    floor (0.638534545898438 × 32768)
    floor (20923.5)     		tx = 20923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152267456054688 × 215)
    floor (0.152267456054688 × 32768)
    floor (4989.5)     		ty = 4989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20923 / 4989 ti = "15/20923/4989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20923/4989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20923 ÷ 215
    20923 ÷ 32768     		x = 0.638519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4989 ÷ 215
    4989 ÷ 32768     		y = 0.152252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638519287109375 × 2 - 1) × π
    0.27703857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87034235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152252197265625 × 2 - 1) × π
    0.69549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18496388468216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87034235} λ = 0.87034235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18496388468216))-π/2
    2×atan(8.89032747057109)-π/2
    2×1.45878534099234-π/2
    2.91757068198467-1.57079632675     		φ = 1.34677436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87034235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.866943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34677436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.164487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20923 KachelY 4989 0.87034235 1.34677436 49.866943 77.164487
    Oben rechts KachelX + 1 20924 KachelY 4989 0.87053410 1.34677436 49.877930 77.164487
    Unten links KachelX 20923 KachelY + 1 4990 0.87034235 1.34673175 49.866943 77.162045
    Unten rechts KachelX + 1 20924 KachelY + 1 4990 0.87053410 1.34673175 49.877930 77.162045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34677436-1.34673175) × R
    4.2609999999943e-05 × 6371000     		dl = 271.468309999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34677436-1.34673175) × R
    4.2609999999943e-05 × 6371000     		dr = 271.468309999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87034235-0.87053410) × cos(1.34677436) × R
    0.000191749999999935 × 0.222152874572816 × 6371000     		do = 271.390671078387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87034235-0.87053410) × cos(1.34673175) × R
    0.000191749999999935 × 0.2221944196259 × 6371000     		du = 271.441424145878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34677436)-sin(1.34673175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222152874572816-0.2221944196259)×R²
    abs(0.87053410-0.87034235)×4.15450530841799e-05×R²
    0.000191749999999935×4.15450530841799e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.15450530841799e-05×40589641000000     		ar = 73680.8557629969m²