Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20923 / 4948
↖ ↑ ↗
← N 77.264171°
E 49.866943°		 ← 269.32 m → N 77.264171°
E 49.877930°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 77.261748°
E 49.866943°		 ← 269.37 m →
72 552 m²		 N 77.261748°
E 49.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638534545898438 y=0.151016235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638534545898438 × 215)
    floor (0.638534545898438 × 32768)
    floor (20923.5)     		tx = 20923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151016235351562 × 215)
    floor (0.151016235351562 × 32768)
    floor (4948.5)     		ty = 4948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20923 / 4948 ti = "15/20923/4948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20923/4948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20923 ÷ 215
    20923 ÷ 32768     		x = 0.638519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4948 ÷ 215
    4948 ÷ 32768     		y = 0.1510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638519287109375 × 2 - 1) × π
    0.27703857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87034235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1510009765625 × 2 - 1) × π
    0.697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19282553621985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87034235} λ = 0.87034235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19282553621985))-π/2
    2×atan(8.96049558443284)-π/2
    2×1.45965524655257-π/2
    2.91931049310513-1.57079632675     		φ = 1.34851417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87034235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.866943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34851417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.264171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20923 KachelY 4948 0.87034235 1.34851417 49.866943 77.264171
    Oben rechts KachelX + 1 20924 KachelY 4948 0.87053410 1.34851417 49.877930 77.264171
    Unten links KachelX 20923 KachelY + 1 4949 0.87034235 1.34847189 49.866943 77.261748
    Unten rechts KachelX + 1 20924 KachelY + 1 4949 0.87053410 1.34847189 49.877930 77.261748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34851417-1.34847189) × R
    4.22800000001722e-05 × 6371000     		dl = 269.365880001097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34851417-1.34847189) × R
    4.22800000001722e-05 × 6371000     		dr = 269.365880001097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87034235-0.87053410) × cos(1.34851417) × R
    0.000191749999999935 × 0.220456203846886 × 6371000     		do = 269.317951525266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87034235-0.87053410) × cos(1.34847189) × R
    0.000191749999999935 × 0.220497443429671 × 6371000     		du = 269.36833141825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34851417)-sin(1.34847189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220456203846886-0.220497443429671)×R²
    abs(0.87053410-0.87034235)×4.12395827851797e-05×R²
    0.000191749999999935×4.12395827851797e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.12395827851797e-05×40589641000000     		ar = 72551.852335343m²