Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20922 / 5258
↖ ↑ ↗
← N 76.491179°
E 49.855957°		 ← 285.37 m → N 76.491179°
E 49.866943°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
N 76.488613°
E 49.855957°		 ← 285.42 m →
81 458 m²		 N 76.488613°
E 49.866943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638504028320312 y=0.160476684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638504028320312 × 215)
    floor (0.638504028320312 × 32768)
    floor (20922.5)     		tx = 20922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160476684570312 × 215)
    floor (0.160476684570312 × 32768)
    floor (5258.5)     		ty = 5258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20922 / 5258 ti = "15/20922/5258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20922/5258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20922 ÷ 215
    20922 ÷ 32768     		x = 0.63848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5258 ÷ 215
    5258 ÷ 32768     		y = 0.16046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63848876953125 × 2 - 1) × π
    0.2769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87015060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16046142578125 × 2 - 1) × π
    0.6790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13338378069098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87015060} λ = 0.87015060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13338378069098))-π/2
    2×atan(8.44338910465141)-π/2
    2×1.45290962686558-π/2
    2.90581925373116-1.57079632675     		φ = 1.33502293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87015060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33502293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.491179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20922 KachelY 5258 0.87015060 1.33502293 49.855957 76.491179
    Oben rechts KachelX + 1 20923 KachelY 5258 0.87034235 1.33502293 49.866943 76.491179
    Unten links KachelX 20922 KachelY + 1 5259 0.87015060 1.33497813 49.855957 76.488613
    Unten rechts KachelX + 1 20923 KachelY + 1 5259 0.87034235 1.33497813 49.866943 76.488613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33502293-1.33497813) × R
    4.4799999999956e-05 × 6371000     		dl = 285.42079999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33502293-1.33497813) × R
    4.4799999999956e-05 × 6371000     		dr = 285.42079999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87015060-0.87034235) × cos(1.33502293) × R
    0.000191750000000046 × 0.233595055275362 × 6371000     		do = 285.36888813037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87015060-0.87034235) × cos(1.33497813) × R
    0.000191750000000046 × 0.233638615602808 × 6371000     		du = 285.422103136121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33502293)-sin(1.33497813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233595055275362-0.233638615602808)×R²
    abs(0.87034235-0.87015060)×4.35603274455965e-05×R²
    0.000191750000000046×4.35603274455965e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.35603274455965e-05×40589641000000     		ar = 81457.8106942328m²