Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20921 / 4987
↖ ↑ ↗
← N 77.169367°
E 49.844970°		 ← 271.29 m → N 77.169367°
E 49.855957°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
N 77.166927°
E 49.844970°		 ← 271.34 m →
73 601 m²		 N 77.166927°
E 49.855957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638473510742188 y=0.152206420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638473510742188 × 215)
    floor (0.638473510742188 × 32768)
    floor (20921.5)     		tx = 20921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152206420898438 × 215)
    floor (0.152206420898438 × 32768)
    floor (4987.5)     		ty = 4987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20921 / 4987 ti = "15/20921/4987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20921/4987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20921 ÷ 215
    20921 ÷ 32768     		x = 0.638458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4987 ÷ 215
    4987 ÷ 32768     		y = 0.152191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638458251953125 × 2 - 1) × π
    0.27691650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86995885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152191162109375 × 2 - 1) × π
    0.69561767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18534737987912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86995885} λ = 0.86995885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18534737987912))-π/2
    2×atan(8.8937375222829)-π/2
    2×1.45882793031055-π/2
    2.9176558606211-1.57079632675     		φ = 1.34685953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86995885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.844970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34685953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.169367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20921 KachelY 4987 0.86995885 1.34685953 49.844970 77.169367
    Oben rechts KachelX + 1 20922 KachelY 4987 0.87015060 1.34685953 49.855957 77.169367
    Unten links KachelX 20921 KachelY + 1 4988 0.86995885 1.34681695 49.844970 77.166927
    Unten rechts KachelX + 1 20922 KachelY + 1 4988 0.87015060 1.34681695 49.855957 77.166927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34685953-1.34681695) × R
    4.25799999999033e-05 × 6371000     		dl = 271.277179999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34685953-1.34681695) × R
    4.25799999999033e-05 × 6371000     		dr = 271.277179999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86995885-0.87015060) × cos(1.34685953) × R
    0.000191750000000046 × 0.222069832008231 × 6371000     		do = 271.289223022226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86995885-0.87015060) × cos(1.34681695) × R
    0.000191750000000046 × 0.222111348616814 × 6371000     		du = 271.339941340799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34685953)-sin(1.34681695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222069832008231-0.222111348616814)×R²
    abs(0.87015060-0.86995885)×4.15166085833418e-05×R²
    0.000191750000000046×4.15166085833418e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.15166085833418e-05×40589641000000     		ar = 73601.454757663m²