Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20920 / 4930
↖ ↑ ↗
← N 77.307693°
E 49.833985°		 ← 268.40 m → N 77.307693°
E 49.844970°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
N 77.305279°
E 49.833985°		 ← 268.45 m →
72 048 m²		 N 77.305279°
E 49.844970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638442993164062 y=0.150466918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638442993164062 × 215)
    floor (0.638442993164062 × 32768)
    floor (20920.5)     		tx = 20920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150466918945312 × 215)
    floor (0.150466918945312 × 32768)
    floor (4930.5)     		ty = 4930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20920 / 4930 ti = "15/20920/4930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20920/4930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20920 ÷ 215
    20920 ÷ 32768     		x = 0.638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4930 ÷ 215
    4930 ÷ 32768     		y = 0.15045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638427734375 × 2 - 1) × π
    0.27685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86976711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15045166015625 × 2 - 1) × π
    0.6990966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19627699299249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86976711} λ = 0.86976711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19627699299249))-π/2
    2×atan(8.99147578025288)-π/2
    2×1.46003505437322-π/2
    2.92007010874645-1.57079632675     		φ = 1.34927378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86976711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.833985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34927378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.307693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20920 KachelY 4930 0.86976711 1.34927378 49.833985 77.307693
    Oben rechts KachelX + 1 20921 KachelY 4930 0.86995885 1.34927378 49.844970 77.307693
    Unten links KachelX 20920 KachelY + 1 4931 0.86976711 1.34923165 49.833985 77.305279
    Unten rechts KachelX + 1 20921 KachelY + 1 4931 0.86995885 1.34923165 49.844970 77.305279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34927378-1.34923165) × R
    4.21300000001956e-05 × 6371000     		dl = 268.410230001246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34927378-1.34923165) × R
    4.21300000001956e-05 × 6371000     		dr = 268.410230001246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86976711-0.86995885) × cos(1.34927378) × R
    0.000191739999999996 × 0.219715219096111 × 6371000     		do = 268.398737413544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86976711-0.86995885) × cos(1.34923165) × R
    0.000191739999999996 × 0.219756319414683 × 6371000     		du = 268.448944557398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34927378)-sin(1.34923165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219715219096111-0.219756319414683)×R²
    abs(0.86995885-0.86976711)×4.11003185720182e-05×R²
    0.000191739999999996×4.11003185720182e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.11003185720182e-05×40589641000000     		ar = 72047.7049070558m²