Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20919 / 4938
↖ ↑ ↗
← N 77.288368°
E 49.822998°		 ← 268.81 m → N 77.288368°
E 49.833985°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 77.285950°
E 49.822998°		 ← 268.86 m →
72 279 m²		 N 77.285950°
E 49.833985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638412475585938 y=0.150711059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638412475585938 × 215)
    floor (0.638412475585938 × 32768)
    floor (20919.5)     		tx = 20919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150711059570312 × 215)
    floor (0.150711059570312 × 32768)
    floor (4938.5)     		ty = 4938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20919 / 4938 ti = "15/20919/4938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20919/4938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20919 ÷ 215
    20919 ÷ 32768     		x = 0.638397216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4938 ÷ 215
    4938 ÷ 32768     		y = 0.15069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638397216796875 × 2 - 1) × π
    0.27679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86957536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15069580078125 × 2 - 1) × π
    0.6986083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19474301220465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86957536} λ = 0.86957536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19474301220465))-π/2
    2×atan(8.97769360265202)-π/2
    2×1.45986640875812-π/2
    2.91973281751624-1.57079632675     		φ = 1.34893649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86957536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.822998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34893649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.288368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20919 KachelY 4938 0.86957536 1.34893649 49.822998 77.288368
    Oben rechts KachelX + 1 20920 KachelY 4938 0.86976711 1.34893649 49.833985 77.288368
    Unten links KachelX 20919 KachelY + 1 4939 0.86957536 1.34889429 49.822998 77.285950
    Unten rechts KachelX + 1 20920 KachelY + 1 4939 0.86976711 1.34889429 49.833985 77.285950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34893649-1.34889429) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34893649-1.34889429) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86957536-0.86976711) × cos(1.34893649) × R
    0.000191749999999935 × 0.220044254591579 × 6371000     		do = 268.814698145975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86957536-0.86976711) × cos(1.34889429) × R
    0.000191749999999935 × 0.220085420069005 × 6371000     		du = 268.864987508943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34893649)-sin(1.34889429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220044254591579-0.220085420069005)×R²
    abs(0.86976711-0.86957536)×4.11654774254144e-05×R²
    0.000191749999999935×4.11654774254144e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.11654774254144e-05×40589641000000     		ar = 72279.258561388m²