Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20919 / 4927
↖ ↑ ↗
← N 77.314933°
E 49.822998°		 ← 268.26 m → N 77.314933°
E 49.833985°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
N 77.312520°
E 49.822998°		 ← 268.31 m →
71 977 m²		 N 77.312520°
E 49.833985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638412475585938 y=0.150375366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638412475585938 × 215)
    floor (0.638412475585938 × 32768)
    floor (20919.5)     		tx = 20919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150375366210938 × 215)
    floor (0.150375366210938 × 32768)
    floor (4927.5)     		ty = 4927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20919 / 4927 ti = "15/20919/4927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20919/4927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20919 ÷ 215
    20919 ÷ 32768     		x = 0.638397216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4927 ÷ 215
    4927 ÷ 32768     		y = 0.150360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638397216796875 × 2 - 1) × π
    0.27679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86957536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150360107421875 × 2 - 1) × π
    0.69927978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19685223578793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86957536} λ = 0.86957536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19685223578793))-π/2
    2×atan(8.99664954986003)-π/2
    2×1.46009823144222-π/2
    2.92019646288444-1.57079632675     		φ = 1.34940014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86957536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.822998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34940014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.314933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20919 KachelY 4927 0.86957536 1.34940014 49.822998 77.314933
    Oben rechts KachelX + 1 20920 KachelY 4927 0.86976711 1.34940014 49.833985 77.314933
    Unten links KachelX 20919 KachelY + 1 4928 0.86957536 1.34935803 49.822998 77.312520
    Unten rechts KachelX + 1 20920 KachelY + 1 4928 0.86976711 1.34935803 49.833985 77.312520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34940014-1.34935803) × R
    4.21099999998731e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34940014-1.34935803) × R
    4.21099999998731e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86957536-0.86976711) × cos(1.34940014) × R
    0.000191749999999935 × 0.219591945068558 × 6371000     		do = 268.262139079503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86957536-0.86976711) × cos(1.34935803) × R
    0.000191749999999935 × 0.219633027044924 × 6371000     		du = 268.3123264343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34940014)-sin(1.34935803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219591945068558-0.219633027044924)×R²
    abs(0.86976711-0.86957536)×4.10819763660419e-05×R²
    0.000191749999999935×4.10819763660419e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.10819763660419e-05×40589641000000     		ar = 71976.8527019904m²