Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20916 / 4980
↖ ↑ ↗
← N 77.186434°
E 49.790039°		 ← 270.92 m → N 77.186434°
E 49.801025°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
N 77.183997°
E 49.790039°		 ← 270.97 m →
73 415 m²		 N 77.183997°
E 49.801025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638320922851562 y=0.151992797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638320922851562 × 215)
    floor (0.638320922851562 × 32768)
    floor (20916.5)     		tx = 20916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151992797851562 × 215)
    floor (0.151992797851562 × 32768)
    floor (4980.5)     		ty = 4980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20916 / 4980 ti = "15/20916/4980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20916/4980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20916 ÷ 215
    20916 ÷ 32768     		x = 0.6383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4980 ÷ 215
    4980 ÷ 32768     		y = 0.1519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6383056640625 × 2 - 1) × π
    0.276611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86900012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1519775390625 × 2 - 1) × π
    0.696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18668961306848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86900012} λ = 0.86900012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18668961306848))-π/2
    2×atan(8.90568300698239)-π/2
    2×1.45897686757553-π/2
    2.91795373515106-1.57079632675     		φ = 1.34715741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86900012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34715741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.186434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20916 KachelY 4980 0.86900012 1.34715741 49.790039 77.186434
    Oben rechts KachelX + 1 20917 KachelY 4980 0.86919186 1.34715741 49.801025 77.186434
    Unten links KachelX 20916 KachelY + 1 4981 0.86900012 1.34711488 49.790039 77.183997
    Unten rechts KachelX + 1 20917 KachelY + 1 4981 0.86919186 1.34711488 49.801025 77.183997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34715741-1.34711488) × R
    4.25300000002071e-05 × 6371000     		dl = 270.95863000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34715741-1.34711488) × R
    4.25300000002071e-05 × 6371000     		dr = 270.95863000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86900012-0.86919186) × cos(1.34715741) × R
    0.000191739999999996 × 0.221779379996299 × 6371000     		do = 270.920265879838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86900012-0.86919186) × cos(1.34711488) × R
    0.000191739999999996 × 0.221820850665606 × 6371000     		du = 270.970925435091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34715741)-sin(1.34711488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221779379996299-0.221820850665606)×R²
    abs(0.86919186-0.86900012)×4.14706693072364e-05×R²
    0.000191739999999996×4.14706693072364e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.14706693072364e-05×40589641000000     		ar = 73415.0474149419m²