Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20915 / 4943
↖ ↑ ↗
← N 77.276275°
E 49.779053°		 ← 269.07 m → N 77.276275°
E 49.790039°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
N 77.273855°
E 49.779053°		 ← 269.12 m →
72 415 m²		 N 77.273855°
E 49.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638290405273438 y=0.150863647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638290405273438 × 215)
    floor (0.638290405273438 × 32768)
    floor (20915.5)     		tx = 20915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150863647460938 × 215)
    floor (0.150863647460938 × 32768)
    floor (4943.5)     		ty = 4943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20915 / 4943 ti = "15/20915/4943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20915/4943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20915 ÷ 215
    20915 ÷ 32768     		x = 0.638275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4943 ÷ 215
    4943 ÷ 32768     		y = 0.150848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638275146484375 × 2 - 1) × π
    0.27655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86880837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150848388671875 × 2 - 1) × π
    0.69830322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19378427421225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86880837} λ = 0.86880837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19378427421225))-π/2
    2×atan(8.96909047144438)-π/2
    2×1.45976087702478-π/2
    2.91952175404956-1.57079632675     		φ = 1.34872543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86880837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.779053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34872543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.276275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20915 KachelY 4943 0.86880837 1.34872543 49.779053 77.276275
    Oben rechts KachelX + 1 20916 KachelY 4943 0.86900012 1.34872543 49.790039 77.276275
    Unten links KachelX 20915 KachelY + 1 4944 0.86880837 1.34868319 49.779053 77.273855
    Unten rechts KachelX + 1 20916 KachelY + 1 4944 0.86900012 1.34868319 49.790039 77.273855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34872543-1.34868319) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dl = 269.111039999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34872543-1.34868319) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dr = 269.111039999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86880837-0.86900012) × cos(1.34872543) × R
    0.000191750000000046 × 0.22025013658521 × 6371000     		do = 269.066211670418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86880837-0.86900012) × cos(1.34868319) × R
    0.000191750000000046 × 0.220291339119025 × 6371000     		du = 269.116546302926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34872543)-sin(1.34868319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22025013658521-0.220291339119025)×R²
    abs(0.86900012-0.86880837)×4.12025338150379e-05×R²
    0.000191750000000046×4.12025338150379e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.12025338150379e-05×40589641000000     		ar = 72415.4608647167m²