Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20914 / 4944
↖ ↑ ↗
← N 77.273855°
E 49.768066°		 ← 269.12 m → N 77.273855°
E 49.779053°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
N 77.271435°
E 49.768066°		 ← 269.17 m →
72 429 m²		 N 77.271435°
E 49.779053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638259887695312 y=0.150894165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638259887695312 × 215)
    floor (0.638259887695312 × 32768)
    floor (20914.5)     		tx = 20914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150894165039062 × 215)
    floor (0.150894165039062 × 32768)
    floor (4944.5)     		ty = 4944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20914 / 4944 ti = "15/20914/4944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20914/4944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20914 ÷ 215
    20914 ÷ 32768     		x = 0.63824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4944 ÷ 215
    4944 ÷ 32768     		y = 0.15087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63824462890625 × 2 - 1) × π
    0.2764892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86861662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15087890625 × 2 - 1) × π
    0.6982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86861662} λ = 0.86861662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19359252661377))-π/2
    2×atan(8.9673708347593)-π/2
    2×1.45973975883225-π/2
    2.9194795176645-1.57079632675     		φ = 1.34868319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86861662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.768066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34868319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.273855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20914 KachelY 4944 0.86861662 1.34868319 49.768066 77.273855
    Oben rechts KachelX + 1 20915 KachelY 4944 0.86880837 1.34868319 49.779053 77.273855
    Unten links KachelX 20914 KachelY + 1 4945 0.86861662 1.34864095 49.768066 77.271435
    Unten rechts KachelX + 1 20915 KachelY + 1 4945 0.86880837 1.34864095 49.779053 77.271435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34868319-1.34864095) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dl = 269.111039999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34868319-1.34864095) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dr = 269.111039999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86861662-0.86880837) × cos(1.34868319) × R
    0.000191750000000046 × 0.220291339119025 × 6371000     		do = 269.116546302926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86861662-0.86880837) × cos(1.34864095) × R
    0.000191750000000046 × 0.220332541259792 × 6371000     		du = 269.166880455271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34868319)-sin(1.34864095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220291339119025-0.220332541259792)×R²
    abs(0.86880837-0.86861662)×4.12021407673602e-05×R²
    0.000191750000000046×4.12021407673602e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.12021407673602e-05×40589641000000     		ar = 72429.0064053828m²