Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20913 / 5006
↖ ↑ ↗
← N 77.122930°
E 49.757080°		 ← 272.25 m → N 77.122930°
E 49.768066°		 →
↑
272.30 m
↓
↑
272.30 m
↓
N 77.120481°
E 49.757080°		 ← 272.31 m →
74 141 m²		 N 77.120481°
E 49.768066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638229370117188 y=0.152786254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638229370117188 × 215)
    floor (0.638229370117188 × 32768)
    floor (20913.5)     		tx = 20913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152786254882812 × 215)
    floor (0.152786254882812 × 32768)
    floor (5006.5)     		ty = 5006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20913 / 5006 ti = "15/20913/5006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20913/5006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20913 ÷ 215
    20913 ÷ 32768     		x = 0.638214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5006 ÷ 215
    5006 ÷ 32768     		y = 0.15277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638214111328125 × 2 - 1) × π
    0.27642822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86842487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15277099609375 × 2 - 1) × π
    0.6944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.181704175508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86842487} λ = 0.86842487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.181704175508))-π/2
    2×atan(8.86139477026745)-π/2
    2×1.4584226881384-π/2
    2.91684537627679-1.57079632675     		φ = 1.34604905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86842487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.757080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34604905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.122930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20913 KachelY 5006 0.86842487 1.34604905 49.757080 77.122930
    Oben rechts KachelX + 1 20914 KachelY 5006 0.86861662 1.34604905 49.768066 77.122930
    Unten links KachelX 20913 KachelY + 1 5007 0.86842487 1.34600631 49.757080 77.120481
    Unten rechts KachelX + 1 20914 KachelY + 1 5007 0.86861662 1.34600631 49.768066 77.120481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34604905-1.34600631) × R
    4.27400000000411e-05 × 6371000     		dl = 272.296540000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34604905-1.34600631) × R
    4.27400000000411e-05 × 6371000     		dr = 272.296540000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86842487-0.86861662) × cos(1.34604905) × R
    0.000191749999999935 × 0.222860001918521 × 6371000     		do = 272.254525598649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86842487-0.86861662) × cos(1.34600631) × R
    0.000191749999999935 × 0.222901666823623 × 6371000     		du = 272.305425082069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34604905)-sin(1.34600631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222860001918521-0.222901666823623)×R²
    abs(0.86861662-0.86842487)×4.16649051017404e-05×R²
    0.000191749999999935×4.16649051017404e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.16649051017404e-05×40589641000000     		ar = 74140.8952074449m²